Variable aléatoire conditionnelle
dans Statistiques
Bonjour,
Dans mon cours d'AS l'enseignant considère les données définies par couple de v.a. $(X,Y)$ où $X$ représente la distribution spatiale de nos données (disons R^n pour simplifier) et $Y$ le label (disons une valeure discrète dans \{-1,1\}).
Donc à priori les lois de $X$ et $Y$ sont inconnues. Il écrit dans son cours "$X|Y$ admet une espérance et une matrice de covariance. "
Bizarre! Qu'est ce que l'objet $X|Y$ ? Pour moi c'est une famille de v.a. indéxée par les valeures que prends $Y$.
Donc ici pour moi ça désigne les deux v.a. $X|Y=1$ et $X|Y=-1$ ?
D'ailleurs je ne sais pas trop si on peut dire que $X|Y=1$ est une v.a. mais bon il s'agit bien d'une fonction mesurable qui prend les m^memes valeures que la v.a. $X$ avec une distribution qui n'est à priori pas la m^me.
ps: v.a.=variable aléatoire
Dans mon cours d'AS l'enseignant considère les données définies par couple de v.a. $(X,Y)$ où $X$ représente la distribution spatiale de nos données (disons R^n pour simplifier) et $Y$ le label (disons une valeure discrète dans \{-1,1\}).
Donc à priori les lois de $X$ et $Y$ sont inconnues. Il écrit dans son cours "$X|Y$ admet une espérance et une matrice de covariance. "
Bizarre! Qu'est ce que l'objet $X|Y$ ? Pour moi c'est une famille de v.a. indéxée par les valeures que prends $Y$.
Donc ici pour moi ça désigne les deux v.a. $X|Y=1$ et $X|Y=-1$ ?
D'ailleurs je ne sais pas trop si on peut dire que $X|Y=1$ est une v.a. mais bon il s'agit bien d'une fonction mesurable qui prend les m^memes valeures que la v.a. $X$ avec une distribution qui n'est à priori pas la m^me.
ps: v.a.=variable aléatoire
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Réponses
2) Je ne comprends pas bien ce qui suit:
https://snag.gy/NE14CF.jpg
Quel sens donne t'on à ces deux quantités
- $Var(w^tE[X|Y])$
- $E[Var(w^tX|Y)]$
??
Je ne suis pas familier avec l'espérance conditionnelle mais j'ai compris qu'il s'agissait d'une variable aléatoire: $E[X|Y]:\omega \to E[X|Y=Y(\omega)]$ . Donc si on connait sa loi on pourra déterminer sa variance. Est ce juste ?
Mais qu'est ce que: $Var(w^tX|Y)]$ ? Quel sens/définition donner à la "variance conditionnelle" ?
As t'on $E[Var(w^tX|Y)]=E[Var(w^tX)|Y]$?
Le dessin est ce qu'il y a de plus parlant pour moi: pour la variance intra-classe on regarde successivement la "dispertion" des points violets et des points rouges. Donc lorsque $Y=1$ (points en violet) on a une dispersion/variance qui est sans doute $Var(w^tX|Y=1)$. Pour avoir une idée générale de ces dispersions (dans le cas Y=1 mais aussi Y=-1) on peut faire une moyenne $1/2(Var(w^tX|Y=1)+Var(w^tX|Y=-1))$. On a donc sans doute $Var(w^tX|Y]):\omega \to Var[w^tX|Y=Y(\omega)]$ qui est une variable aléatoire. On peut donc prendre son espérance (que j'ai appelé la moyenne plus haut) après je n'ai aucune idée de la pondération à utiliser (j'ai utiliser 1/2 mais peut être qu'il faudrait pondérer par la probabilité qu'à $Y$ de prendre une valeure $i$ donnée).