Corrélation non appariée

student2 · November 2017

Bonjour,

Nous savons que la matrice de corrélation est un indicateur de la corrélation entre paires de variables. Mais comment faire si je peux capturer l'intéraction entre 3 variables simultanément ? Quels sont les outils dont je dispose ?

Voici une idée que j'ai eu mais je ne suis pas sûr de ce que j'avance ni même de l'utilité d'un outil si basique (si vous avez des outils plus sophistiqués ça m'interesse!). Voici mon idée: j'imagine que si j'extrait la matrice de corrélation pour ces 3 variables je dispose de toute l'information nécessaire pour la corélation entre ces 3 variables. Je pensait donc à un indicateur du type le déterminant de cette sous-matrice sans pouvoir l'expliquer (si ce n'est pas trop faux^^ et que vous avez une preuve ça m'interesse...).
Intuitivement je me disait que si mes 3 variables sont très corrélées ça veut dire que les colonnes de cette sous matrice sont liées et donc que le déterminant est nulle.
Donc u petit déterminant indique une forte corrélation! (c'est vraiment de l'intuition et peut être complètement faux).

P. · November 2017

Le determinant de la matrice de covariance est considere par Wilks sous le nom de generalized variance. Celui de la matrice de correlation s'appelle special generalized variance je crois. En faisant generalized variance sur Google tu tomberas sur un expose d'un A. Sengupta. sur le sujet.

Cet objet semble d'une utilisation assez decevante, bien qu'il y ait un peu de litterature.

En revanche, ton idee de considerer toutes les generalized variances des sous ensembles de trois variables est tres originale, cela vaudrait la peine de creuser du point de vue efficacite statistique, et meme du point de vue de l'algebre lineaire: tiens si a chaque partie $T$ de taille 3 de l'ensemble $\{1,,\ldots,n\}$ on associe un nombre $d_T$, quelle est la cns pour qu'il existe une matrice definie positive $\Sigma$ telle que $$d_T=(\det\Sigma_{ij})_{i,j\in T}?$$

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