Calcul de E(X*Y)

Le titre initial : URGENT n'apporte aucune information sur le sujet de la question et irrite celui qui veut répondre car il se dit : encore un qui se rend compte la veille au soir qu'il a un problème pour le lendemain !
Bonjour à tous, je suis confronté à un problème que je dois résoudre le plus tôt possible, ce problème est le suivant.

Supposons que nous avons deux variables X et Y suivant une loi normale centrée et réduite sachant que ces variables sont dépendantes et je veux calculer E(X*Y).
Normalement on va utiliser les définitions qui existent par exemple :
E(X*Y)=E(X)*E(Y)+cov(X,Y).
Mais le problème pour calculer la covariance, je dois passer par le coefficient de corrélation.
Ma question est la suivante.
Est-ce qu'il y a un moyen de calculer E(X*Y) sans passer par le coefficient de corrélation ? Par exemple,
on calcule la densité de ces deux variables c'est-à-dire la fonction densité conjointe puis on calcule son espérance mais je ne sais pas si ça va marcher.
Donc j'aimerais bien avoir une idée si c'est possible de pour résoudre ce problème.
Sur ce je vous dis merci d'avance.
Cordialement.