Risque quadratique et variance estimateur

Bonjour,

Je suis en train de faire les exercices pour mes étudiants: j'aimerais donner un estimateur et ils vérifient s'il est sans biais et convergent.

J'ai un petit souci avec la convergence. Je trouve sur internet (anglais, français) que si l'estimateur $\hat{\theta}$ de $\theta$ est sans biais, dans ce cas $V(\hat{\theta}) = \frac{\theta^2}{n}$ indépendamment de la loi? Si oui, comment le démontrer et qui l'a démontré (si jamais c'est trop compliquer pour les élèves...)?

J'ai deux estimateur sans biais:

$X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ et un $n$-échantillon $iid$, alors estimateur sans biais est $\hat{p} = \frac{1}{1 + \bar{X}_n}$. La variance sera $V(\hat{p}) = p^2 / n$ ou $V(\hat{p}) = \frac{V(X)}{n} = \frac{(1-p)}{np^2}$ ?

Pareil pour la loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Si on pose $\hat{\lambda} = \bar{X}_{n}^{-1}$ il est sans biais et je trouve sur l'internet la variance $V(\hat{\lambda}) = \frac{\lambda^2}{n}$. SI je cherche moi même EMV, je tombe bien sur cet estimateur et l'information Fisher $\frac{n}{\lambda^2}$. Mais je n'arrive pas à calculer la variance de $V(\bar{X}_{n}^{-1})$.

Merci à l'avance pour l'aide et l'explication.