Exo sur les moments d'ordre 4 des gaussiennes
dans Statistiques
Si $X\sim N(0,\Sigma)$ on connaît la jolie formule de Leon Isserlis $$
\mathbb{E}(X_1X_2X_3X_4)=\mathbb{E}(X_1X_2)\mathbb{E}(X_3X_4)+\mathbb{E}(X_1X_3)\mathbb{E}(X_2X_4)+\mathbb{E}(X_1X_4)\mathbb{E}(X_2X_3).
$$ Mais si $A$ est une matrice symétrique, il faut donner une expression compacte de $\mathbb{E}\big((X^TAX)^2\big).$ Et en déduire $\mathbb{E}\big((X^TAX)(X^TBX)\big)$ par polarisation...
\mathbb{E}(X_1X_2X_3X_4)=\mathbb{E}(X_1X_2)\mathbb{E}(X_3X_4)+\mathbb{E}(X_1X_3)\mathbb{E}(X_2X_4)+\mathbb{E}(X_1X_4)\mathbb{E}(X_2X_3).
$$ Mais si $A$ est une matrice symétrique, il faut donner une expression compacte de $\mathbb{E}\big((X^TAX)^2\big).$ Et en déduire $\mathbb{E}\big((X^TAX)(X^TBX)\big)$ par polarisation...
Réponses
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Langue au chat.
$$\mathbb{E}((X^TAX)(X^TBX))=\mathrm{trace}(A\Sigma)\mathrm{trace}(B\Sigma)+\mathrm{trace}(A\Sigma B\Sigma)+\mathrm{trace}(B\Sigma A\Sigma).$$ -
On diagonalise $A=P^T P$, pour se placer dans la base des vecteurs propres et calculer la variance du vecteur gaussien $Y = PX$ ? (je n'ai pas essayé)
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Et tu oublies de nous dire que nous fêterons cette année le centième anniversaire de la formule d'Isserlis générale pour $n\in\N$ !
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Bonjour!
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