Variance de produit de variables

guikko
guikko
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour
J'essaie sans succès de simplifier davantage mon résultat mais impossible d'arriver à quelque chose de propre.

On a deux variables aléatoires indépendantes X et Y de carré intégrale, non constantes. donner une condition nécessaire et suffisante pour V(XY) = V(X)V(Y)

Je démarre V(XY) = E(XY - E(XY))^2

= E(XY - E(X)E(Y))^2 par indépendance des X Y

= E(X^2)E(Y^2) - (E(X)E(Y))^2 par indépendance des X^2 et Y^2

= V(X)V(Y) + V(X)(E(Y))^2 + V(Y)(E(X))^2

J'ai fait apparaître l'expression mais c'est frustrant de n'avoir rien de mieux que si et seulement si V(X)(E(Y))^2 + V(Y)(E(X))^2 = 0.
Peut-on aller plus loin ?

Merci et bonne soirée.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Tu crois vraiment que (XY-E(X)E(Y))²=X²Y²-E(X)²E(Y)² ??

    Cordialement.
  • guikko
    guikko
    Je t'avoue que je pensais que ça donnait ça en détaillant un peu plus

    = E(XY - E(X)E(Y))^2

    = E( (XY)^2 - 2(XY)E(X)E(Y) +( E(X)E(Y))^2 )

    = E((XY)^2) -2 E(X)E(Y)E(X)E(Y) +( E(X)E(Y))^2

    = E((XY)^2) -( E(X)E(Y))^2
  • gerard0
    gerard0
    Ah, OK !

    J'avais zappé le calcul intermédiaire (que j'ai pourtant déjà pratiqué !) :-D

    Pour le calcul final la forme E(X²Y²)-E(XY)² peut être obtenue directement.
    Et maintenant, il te reste à traiter la question initiale ...

    Cordialement.
  • Poirot
    Poirot
    Voyons, on a un produit de deux termes qui sont nuls, quelle peut bien être une CNS pour ça ? Est-ce qu'on peut avoir $V(X)=0$ ? Ensuite on continue...
  • P.
    P.
    Si $A=\mathbb{E}(X^2)$ et $a=(\mathbb(E)(X))^2$ avec $B,b$ meme style pour $Y$ alors
    $$V(XY)=(A-a)(B-b)+b(A-a)+a(B-b)$$ Comme $ A\geq a\geq 0$ et idem pour $B,b$ on doit conclure rapidement dans les quatre cas possibles.
  • guikko
    guikko
    AH Merci pour toutes ces réponses :-D

    Si un produit de deux termes est nul alors l'un des deux termes au moins est nul. Mais oui c'est bien sûr^^
    V(X)(E(Y))^2 + V(Y)(E(X))^2 = 0

    Comme tous les termes sont positifs ou nuls on a V(X)(E(Y))^2 = V(Y)(E(X))^2 = 0

    Comme V(X) et V(Y) > 0 (Car X et Y non constante) on peut diviser par ces termes des deux côtés de l'équation.

    Donc E(X)=E(Y)=0

    Merci beaucoup à tous et bonne soirée :) c'est top
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