Estimer densité

Moa Maime · May 2018

Bonjour à tous,

Supposons que l'on ait une variable aléatoire X, et l'on en définie une nouvelle comme suit Y = f(X) .

On peut évidemment trouver (dans certains/peu de cas) la loi exacte de Y, en utilisant par exemple une méthode la fonction muette ou bien la fonction de répartition.
Mais existe-t-il des méthodes, afin d'approcher la densité de Y - numériquement je parle, et à part bien sûr l'histogramme empirique, et encore ce dernier n'est faisable que si on a une variable Y réelle.

J'insiste sur le fait que X est une variable aléatoire, et non pas un n-échantillons de données (j'ai hésité à mettre ce sujet en probas :-S ) .

Je n'ai pas réussi à trouver des choses intéressantes sur internet (vu qu'en plus en marquant "estimation de densité" on tombe automatiquement sur des vraies estimations statistiques B-) ).

J'essaye de bidouller des algorithmes, mais bon...

Par exemple si je prends une loi uniforme sur [ -1 ; 1 ], et que Y est cette loi élevée au carré, comment approximer la densité de Y (que l'on peut bien sûr avoir analytiquement dans ce cas simple) .

Merci pour vos conseils/liens (tu)

Lucas · May 2018

Bonjour,

Si jamais ta fonction $f$ est sympa (disons bijective monotone), alors en bricolant avec la fonction de répartition par exemple tu vas trouver que la densité de $f(X)$ s'écrit
$$
(f^{-1})'g_X(f^{-1}(x)),
$$
où $g_X$ est la densité de $X$. Donc il "suffit" d'avoir une bonne approximation de $f^{-1}$, mais bon je sais pas si c'est que tu cherches.

Moa Maime · May 2018

Bonjour,
merci pour ta réponse. En effet dans certains cas cela marche :-)
Sinon j’essaie aussi d'utiliser des kernels d'estimation de densités, en ayant crée un jeu de données, via des tirages. Ça marche pas si mal, mais c'est assez long pour avoir une bonne précision.

Enfin je continue à chercher pour savoir s'il n'y aurait pas un moyen plus "rapide", ou moins statistique.

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