Équivalence C.V proba et C.V p.s
dans Statistiques
Bonjour, ma question est simple.
Soit (Xn) une suite de VA réelle qui converge en probabilité vers une constante, peut-on montrer qu'elle converge presque sûrement vers cette même constante ?
Je précise que la suite (Xn) en question est croissante et bornée donc sa limite existe.
Merci.
Soit (Xn) une suite de VA réelle qui converge en probabilité vers une constante, peut-on montrer qu'elle converge presque sûrement vers cette même constante ?
Je précise que la suite (Xn) en question est croissante et bornée donc sa limite existe.
Merci.
Réponses
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Oui, si la limite existe (qu'importe que la limite soit une variable constante) pour la convergence presque sûre, alors c'est la même pour la convergence en probabilités (unicité presque sûrement j'entends). La convergence presque sûre implique celle en probas vers la même limite, unique presque sûrement.
En revanche, la convergence en probas, même vers une constante, n'entraîne pas nécessairement la convergence presque sûre. -
Merci pour cette réponse précise.
Pour être sûr d'avoir bien compris :
- La seule condition à vérifier pour que la convergence en probas entraîne la converge presque sûre est "la limite de Xn existe" ?
- Xn peut converger en probas sans pour autant avoir "la limite de Xn existe" ? -
Markabes a écrit:- La seule condition à vérifier pour que la convergence en probas entraîne la converge presque sûre est "la limite de Xn existe" ?
Ce que je dis c'est que s'il y a convergence presque sûre, alors il y a nécessairement convergence en probas, et en plus les deux convergences se font vers la même limite. Donc si tu sais qu'il y a convergence en probas et convergence presque sûres alors tu sais que les limites sont les mêmes, mais c'est encore plus fort, parce que rien que de savoir qu'il y a convergence presque sûre entraîne que forcément il y a convergence en probas vers la même limite. Pas la peine de vérifier la convergence en probas à part donc.Markabes a écrit:- Xn peut converger en probas sans pour autant avoir "la limite de Xn existe" ? -
J'ai compris, merci pour ta pédagogie ! :-)
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