Équivalence C.V proba et C.V p.s

Oui, si la limite existe (qu'importe que la limite soit une variable constante) pour la convergence presque sûre, alors c'est la même pour la convergence en probabilités (unicité presque sûrement j'entends). La convergence presque sûre implique celle en probas vers la même limite, unique presque sûrement.

En revanche, la convergence en probas, même vers une constante, n'entraîne pas nécessairement la convergence presque sûre.

Markabes a écrit:

- La seule condition à vérifier pour que la convergence en probas entraîne la converge presque sûre est "la limite de Xn existe" ?

Ca n'a aucun sens. Si la limite presque sûre existe c'est que par définition la convergence presque sûre a lieu. Je reformule ce que tu dis. La seule condition à vérifier pour que la convergence en probas entraîne la converge presque sûre est qu'il y ait convergence presque sûre. Tu vois mieux pourquoi ça n'a pas de sens ? S'il y a convergence presque sûre alors il y a convergence presque sûre, aucune hypothèse à ajouter.

Ce que je dis c'est que s'il y a convergence presque sûre, alors il y a nécessairement convergence en probas, et en plus les deux convergences se font vers la même limite. Donc si tu sais qu'il y a convergence en probas et convergence presque sûres alors tu sais que les limites sont les mêmes, mais c'est encore plus fort, parce que rien que de savoir qu'il y a convergence presque sûre entraîne que forcément il y a convergence en probas vers la même limite. Pas la peine de vérifier la convergence en probas à part donc.

Markabes a écrit:

- Xn peut converger en probas sans pour autant avoir "la limite de Xn existe" ?

Exact, si par limite tu entends limite pour la convergence presque sûre. La convergence en probas seule ne permet pas de dire quoi que ce soit sur la convergence presque sûre, même si la limite est constante.