Maximum de vraisemblance

Ilan00 · June 2018

Hello tout le monde

Je viens de trouver ce petit bijoux de forum et j'espère trouver mon bonheur

Je suis bloque sur un exosmoses en stat sur le maximum de vraisemblance et j'aimerai une petite aide

On nous raconte qu'un ivrogne rentre à la maison avec un tas de clés contenant un nombre inconnu de clés n, dont une seule correspond. L'homme ivre tente les clés une par une avec remise, jusqu'à ce qu'il parvienne à ouvrir la porte.

1.Trouver l'estimation du maximum de ressemblance pour n clefs.
2.On sait qu'il possède au moins 3 clés et au tout plus plus 10. Comment votre réponse changera t-elle de la premiere question ?
3.On sait que l'ivrogne disposait de 10 clefs en début de soirée mais il pouvait oublier chacune de ses clefs dans un bar avec une probabilité de 1/2. Comme dans la premiere question, nous voulons construire une estimation du maximum de ressemblance pour n, le nombre de clés qu'il possède à la fin de la soirée, basé sur le nombre de tentatives d'ouverture de la porte. Expliquez (sans calcul) comment votre réponse se différencie de la premiere question.

Pour la premiere question, on identifie que n suit la loi géométrique, et on sait que l'estimation de maximum de vraisemblance vaut 1/Xn. Pour les questions suivante j'aurai tendance a dire que la réponse ne change pas puisque dans tout les cas il est toujours possible d'avoir les cas extreme par exemple il ne parvient jamais a ouvrir la porte ou il ouvre la porte dès la premiere tentative ...
Merci d'avance pour votre aide !!

Ilan

gerard0 · June 2018

Bonjour.

"n suit la loi géométrique" ??? n est une constante, pas une variable aléatoire. Peut-être veux-tu parler du nombre d'essais ? Il faut le dire et lui donner un nom (tu utilises un $X_n$ non défini ensuite).
Donc il faudrait que tu poses correctement le problème, d'ailleurs ta réponse "1/Xn" n'a pas beaucoup de sens.

Pour la 2, on élimine le cas n=1, qui est dégénéré.

Bon travail personnel !

Ilan00 · June 2018

Oui pardon n représente le nombre de clefs qu'on ne connait pas dans les deux premieres questions.
Xi est la variable qui représente une tentative.

Donc pour la premiere question, l'estimation du maximum de vraisemblance est 1/ la moyenne des tentatives Xi soit l'inverse de la moyenne empirique.

gerard0 · June 2018

Désolé, tes phrases sont floues : "... de clefs qu'on ne connait pas ..." ? On ne connaît pas les clefs ? On ne connaît pas leur nombre ? ".
La phrase suivante ne dit rien !! Soit elle a un sens pour toi, et tu peux faire le calcul, soit elle ne sert à rien.Rappel : Dans la question 1, n est fixé (d'ailleurs, dans la poche de l'ivrogne aussi).

Ilan00 · June 2018

Merci de ta réponse Gerard, excuse moi pour mon français, ça n'est pas ma langue maternelle

sorry.
Je voulais dire que n pouvait être n'importe quel nombre donc le nombre de clefs est inconnu ...

Vu qu'on ne connait pas les résultats de l'expérience on ne pas calculer la moyenne empirique et donc utilise la formule ... si tu as une idée je suis preneur

merci

gerard0 · June 2018

On peut donner le résultat en fonction de n. Tu trouves quoi ?

Ilan00 · June 2018

Alors d'abord je définis X variable qui suit la loi géométrique, nombre de tentatives.
On sait que le maximum de vraisemblance dans ce cas est l'inverse de la moyenne empirique.
Je ne sais pas trop comment avancer de là, mais vu que peut-être y a 1/n qui choisissent la bonne clef alors si je remplace la moyenne empirique par n dans la formule on obtiendrait n ? Sans vraiment être sûr ...

gerard0 · June 2018

Autrement dit, tu supposes plein de choses sans être sûr de toi ? Et tu continues à parler sans précision : " je définits X variable qui suit la loi géométrique, nombre de tentatives." "la loi géométrique" ne veut rien dire, "la" signifie qu'il n'y a qu'un seul cas possible alors qu'il y a une infinité de lois possibles.
Donc quelle loi géométrique ? Quelle est alors la règle de calcul du maximum de vraisemblance ? Qu'est-ce que ça donne ?

C'est à toi d'être sûr (raisonnablement) de ce que tu écris, en particulier parce que tu appliques les règles mathématiques.

Ilan00 · June 2018

La variable aléatoire X qui compte le nombre d’essais jusqu’au premier succès suit une loi géométrique de paramètre p.
On réalise des essais indépendants, chacun avec la même probabilité de succès p. Et le maximum de vraisemblance pour p vaut l'inverse de la moyenne empirique.

gerard0 · June 2018

Et que vaut p ?

Pourquoi faut-il te relancer à chaque fois, alors que ce sont des techniques élémentaires que tu aurais pu employer directement pour traiter immédiatement ton exercice ?

Je te laisse continuer seul, parce que finalement tu sais faire, mais tu ne fais pas.

Ilan00 · June 2018

Mais j'ai déjà écris plus haut que l'estimateur de p vaut l'inverse la moyenne empirique...

Ilan00 écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?13,1662188,1662548#msg-1662548

> On sait que le maximum de vraisemblance dans ce cas est l'inverse de la moyenne empirique.
> Je ne sais pas trop comment avancer de la, mais vu que peut être y a 1/n qui choisisse la bonne clef
> alors si je remplace la moyenne empirique par n dans la formule on obtiendrai n ?

Ilan00 · June 2018

Bonsoir,

Je relance le topic... quelqu'un pourrait me résoudre l'exercice et m'expliquer la démarche svp ?

gerard0 · June 2018

A lire avant de poster

Ilan00 · June 2018

Ca fais deux-trois jours que je suis dessus sans trouver de solution ...

" Ne demandez pas à d'autres de faire des devoirs que vous n'avez pas le courage de faire vous-même. Par contre, si vous avez cherché sans succès et que vous exposez ce que vous avez tenté et les résultats déjà obtenus, il se trouvera sûrement quelqu'un pour donner un coup de pouce ou une piste... "

roumegaire · June 2018

Tu dis : "La variable aléatoire X qui compte le nombre d’essais jusqu’au premier succès suit une loi géométrique de paramètre p." Je ne vois nulle part $p$ défini dans l'énoncé, comme tu l'utilises c'est donc à toi de le définir. Cherche ce que vaut $p$ et tu auras résolu la première question de ton exercice.

Ilan00 · June 2018

La probabilité d'obtenir la réussite après k tentative lorsque X suit une loi géométrique de paramètre p est :P(x=k)=[(1-p)^(k-1)]*p

Je voudrai poser deux questions et j'aurai peut être du commencer par la, d'abord selon la formule l'estimateur de p est l'inverse de la moyenne empirique.
Mais dans les problèmes où on ne connait pas les résultats de l'experience, on ne peut pas calculer cette moyenne, on trouve comment l'estimateur de p ?
Puis deuxième question, et c'est surement pourquoi je n'arrive pas a résoudre l'exos, je n'arrive à trouver le lien entre l'estimateur de p et celui n (demandé) ...

merci d'avance ;-)

gerard0 · June 2018

Bon sang ! Il n'y a pas à estimer p, il est connu : relis correctement l'énoncé, puis trouve p quand il y a n clefs (niveau classe de troisième en France) : "Trouver l'estimation du maximum de ressemblance pour n clefs."

Tu ne lis pas les réponses, tu les interprètes avec des idées préconçues ...

Ilan00 · June 2018

ahh p vaut 1/n du coup on peut poser l'inverse de moyenne empirique (maximum de vraisemblance de p) vaut 1/n ?

jma · June 2018

Bonjour,

Personnellement, j'aurais du mal à rester trois jours d'affiler sur le même exercice.

Vous pouvez peut-être bien travailler sur des éléments de combinatoire et les lois usuelles dont la loi géométrique puis comprendre l'estimateur du maximum de vraisemblance avec des exemples de calcul. C'est déjà beaucoup...Enfin votre exercice.

C'est simplement un petit commentaire et, il y a sûrement beaucoup d'autres façons de s'y prendre.

Bon courage.

Ilan00 · June 2018

Je fais pas exprès de pas comprendre ...
Merci quand même.
A bientôt.

gerard0 · June 2018

Je ne comprends pas !

Tes interventions montrent que tu as résolu le problème (enfin ... il reste à tout rédiger clairement). Tu attends quoi ?

Ilan00 · June 2018

Pour la question 3, je ne sais pas comment faire, pour visualiser j'ai séparé le problème en 3 cas possibles
1er cas, il n'oublie aucune clef avec une probas de p1=1/2
2nd cas, il oublie une mauvaise clef avec une probas de p2=1/2 * 9/10
3ème cas, il oublie la bonne clef avec une probas de p3=1/2 * 1/10
Du coup on trouve comment l'estimateur maximum ?

gerard0 · June 2018

Comme je ne sais pas ce que tu as fait à la question 1, difficile de te guider. D'ailleurs, vu ce qui est dit à la question 3, la question 1 devient bizarre. Il semblerait qu'on veuille estimer le nombre de clefs qu'il a à partir d'un échantillon de 1 seul élément, ce qui est une statistique vraiment pauvre; c'est à peu près comme estimer la probabilité des sorties d'un dé non équilibré à partir d'un seul jet : le 3 est sorti, quel est le maximum de vraisemblance pour la probabilité de sortie du 6 ?
Et dans la question 3, il a une chance sur 2 de ne pas pouvoir ouvrir la porte ! Sans compter qu'un ivrogne est capable d'essayer sans arrêt la même clef, qui ne marche pas !

C'est vraiment un bizarre exercice.

jma · June 2018

Bonjour,

Pour Gerard0 :

La question 1. du message initial peut-elle être considérer comme un procédé de "capture-recapture" qui aboutit à un modèle qui est basé sur une loi binomiale négative ? La loi binomiale négative est une généralisation de la loi géométrique. Dans le cadre du procédé de "capture-recapture", il m'est possible de calculer l'estimateur du maximum de vraissemblance de n (pour gour garder la notation de llan00).

Cordialement.

gerard0 · June 2018

L'énoncé ne dit rien sur la méthode statistique. Je doute qu'on puisse dire grand chose de n en sachant que l'ivrogne a essayé 3 fois une clef puis s'est endormi sur le palier.

Est-ce que tu fais souvent des estimations à partir d'une seule valeur ?

Finalement : Cet exercice, tu as à le faire ? Ou tu l'as trouvé par hasard et tu t'y es accroché ?

jma · June 2018

Bien sûr, l'exercice ne donne pas la méthode. Connais-tu la "capture-recapture" qui mène à l'estimation du maximum de vraissemblance de la taille de la population ?

Pour ta première question, il est possible de trouver l'équation de vraissemblance de n à une seule observation x de la variable aléatoire X="nombre de clés que l'ivrogne doit essayer" donc oui.

Pour les autres questions, je ne sais qu'en penser donc je ne spécule pas.

gerard0 · June 2018

Oui, je connais la "capture recapture". mais pas l'estimation de la taille d'une population de poissons par une seule capture :-).

jma · June 2018

Voyons gerard0, il s'agit d'un exercice pédagogique ! :-)
Ta réponse n'est pas argumentée, un petit peu formalisée et, apparemment, ma réponse à ta première question n'est pas été remise en doute. Tu peux utiliser mon mail pour expliciter ta reponse pour éviter les batailles d'ego.
Merci d'avance.
Cordialement.

gerard0 · June 2018

Pédagogique ou pas, un exercice qui parle de concret doit le faire sérieusement.

Ce n'est pas une question d'ego, simplement plus je lis ton énoncé moins je lui trouve de signification. Au début, avec une lecture n'interprétant que la première question, j’avais une réponse. La suite m'amenant à rejeter mon interprétation, je n'ai plus de réponse, puisque je n'ai plus de première question sensée.

Désolé.

NB : On trouve parfois ce type d'énoncé, auquel l'auteur donne un sens personnel et une réponse correspondante. Mais comme ça n'a rien à voir avec la pratique statistique (*), ça n'est en rien pédagogique.

(*) Plutôt avec l'ego de l'auteur.

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