Test de rapport de vraisemblance

Bonjour,

Voici la situation à laquelle je suis confronté et que je ne parviens pas à résoudre.

Je souhaiterais tester la pertinence des modèles suivants.

Modèle 1 : $(y_{i}+\epsilon_{i}){i \in \lbrace 1, ..., N \rbrace}$, $\epsilon_{i} \sim_{i.i.d} \mathcal{N}(0,\sigma_{\epsilon}^2)$, $y_{i} \sim_{i.i.d} \mathcal{N}(x_{i}'\beta,\sigma_{\alpha}^2)$. Supposons que j'obtienne la vraisemblance $L(X;\beta,\sigma_{\epsilon}^2)$.

Modèle 2 : $(y_{i}){i \in \lbrace 1, ..., N \rbrace}$. Supposons que j'obtienne la vraisemblance G(X;\beta).

Supposons par ailleurs que $L(X;\beta,\sigma_{\epsilon}^2)$ ne converge pas vers $G(X;\beta)$ quand $\sigma_{\epsilon}^2$ tend vers 0.


La variable aléatoire considérée dans le modèle 2 correspond au modèle 1 sous hypothèse $\sigma_{\epsilon}=0$. A priori, je dois pouvoir faire un test de type Neymann-Pearson pour choisir le modèle le plus pertinent (à moins que je fasse déjà fausse route ?). Cependant, du fait de la non convergence de L(.) vers G(.), il me semble également que le log du carré du rapport des vraisemblance ne suivra pas de loi du chi-deux à 1 degré de liberté (ce qui est par ailleurs corroboré par la statistique que j'obtiens en calculant la stat d'un test de rapport de vraisemblance classique puisque j'arrive à 380, ce qui est on ne peut moins probable si le carré du rapport suit bien une chi-deux).

Dans ce cadre, j'aimerais savoir :
1. Si l'un d'entre vous aurait déjà vu un article de recherche passer concernant le tst du rapport de vraisemblance avec non continuité de la vraisemblance (dans le sens ou L() ne converge pas vers G() quand on tend vers la nulle)
2. Si quelqu'un aurait en tête une méthodologie à appliquer si le point 1. ne donne rien (par exemple des simulations de Monte Carlo ?, le cas échéant, je suis également preneur de vos pistes...).

Merci beaucoup par avance