Espérance

srih
srih
dans Statistiques
Bonjour, Je suis bloquée sur cette question, quelqu'un peut-il m'aider s'il vous plaît ?

Soit $Y_i$ une suite de variables aléatoires dépendantes et centrées, identiquement distribuées telle que
$Y_i=\frac{1}{\sqrt{nh_n}}\left( K \left( \frac{x-X_i}{h_n} \right) - \mathbb{E} \left( K \left( \frac{x-X_i}{h_n} \right) \right) \right) ,~i=\ldots,n$
On a :
\begin{align}
\mathbf{E} (\vert Y_i\vert ) \leq C_1 \sqrt{\frac{h_n}{n}},&\quad C_1>0&(1)\\
\vert\mathbf{Cov}(Y_i,Y_j)\vert \leq C_2\frac{h_n}{n}, &\quad C_2>0 &(2)
\end{align}
Montrons que (1) et (2) impliquent $$
\mathbf{E}(\vert Y_iY_j\vert)\leq C \frac{h_n}{n},\quad C>0.
$$ Merci d'avance.

Réponses

  • jma
    jma
    Bonsoir,
    Pourriez-vous me dire si ce problème s'inscrit dans le cadre des estimateurs à noyaux ?
    Cordialement.
  • srih
    srih
    Bonjour, je m'excuse pour le retard de ma réponse, oui ce problème s'inscrit dans le cadre des estimateurs à noyaux.
  • jma
    jma
    Bonjour,
    Il n'y a pas de problèmes mais je dois me mettre à mon crayon et, m'atteler au problème. Je reviens vers vous avec quelque-chose de cohérent. Si vous voulez, vous pouvez me joindre par message privé.
    Cordialement.
  • Balix
    Balix
    Si la relation (1) est vraie pour tout i , il ne suffit pas d'appliquer la formule
    $ Cov(Y_i,Y_j) = E (Y_i,Y_j) - E(Y_i)E(y_j)$ ?
  • srih
    srih
    Merci pour vos aides.
    O    ui la relation (1) est toujours vraie, est-ce que vous avez une idée ?
  • Balix
    Balix
    Ben t'appliques la formule de la covariance aux variables $|Y_i|$, en arrangeant comme il faut, le résultat tombe assez vite, avec $C = C_1^2 +C_2$
  • jma
    jma
    Bonjour srih,
    Je vous ai envoyé un message privé mais je ne sais pas trop, pour l'instant, comment la messagerie fonctionne.
    Corfialement.
  • srih
    srih
    je suis désolée monsieur Balix , on a une majoration de $\vert\mathbf{Cov}(Y_i,Y_j)\vert $
    non pas de $\mathbf{Cov}(\vert Y_i \vert ,\vert Y_j \vert )$ et
    $\mathbf{Cov}(\vert Y_i \vert ,\vert Y_j \vert )$ n'est pas inferieur de $\vert \mathbf{Cov}(Y_i,Y_j) \vert $
  • jma
    jma
    Bonjour,

    Pour estimer une loi à partir d'un noyau (ex : $K(.)$ le noyau gaussien), on procède de cette manière avec des variables aléatoires $X_{1},\ldots,X_{n}$ indépendantes alors $\quad\displaystyle f_{n}^{estimé}(x)=\frac{1}{nh}\sum_{i=1}^{n}K\Big(\frac{x-X_{i}}{h}\Big)$.
    Si on pose les variables aléatoires à $x$ fixé $Z_{i}=\frac{1}{h}K(\frac{x-X_{i}}{h})$ alors les $Z_{i}$ sont indépendantes de même loi mère que $X$ mais que se passe-t-il lorsque les v.a. sont dépendantes.

    Est-ce que quelqu'un connaissant les probabilités et les statistiques pourrait faire progresser ce fil si il/elle a un peu de temps et, poster si possible plusieurs indications didactiques pour parvenir à un résultat ?
    Cordialement.
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