Une question sur les intervalles de confiance

maxh
maxh
dans Statistiques
Bonjour
Est-ce que de façon générale pour la loi normale, un intervalle de confiance de niveau $\beta$ est inclus dans un intervalle de confiance de niveau $\alpha$ avec $\beta < \alpha$ ?

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Je ne sais pas ce que tu appelles "niveau" : la confiance ou le risque. Ni de quel intervalle de confiance il s'agit.

    Mais pour des intervalles de confiance centrés sur la moyenne, la définition suffit à conclure. Quelle est ta définition ?

    Cordialement.
  • Dom
    Dom
    J'espère ne pas dire de bêtises ::-S8-)
    Si on change d'échantillon (par exemple en augmentant l'effectif), la moyenne peut bouger, et les intervalles peuvent se chevaucher sans que l'un soit inclus dans l'autre, non ?

    Mais je confonds peut-être entre intervalle de fluctuation et intervalle de confiance...
  • gerard0
    gerard0
    Effectivement, la question est très imprécise. Un intervalle de confiance porte sur une variable statistique (pas sur une variable aléatoire Normale) suite à un recueil de données (échantillon ou autre).

    Cordialement.
  • maxh
    maxh
    Merci pour vos retour. Je fais allusion à la confiance, par exemple 95% avec un intervalle du type $[\mu -1.96\sigma; \mu+1.96\sigma]$. Mais si le niveau de confiance change (par exemple 70%), le quantile associé va aussi changé car ça ne sera plus 1.96, donc pour moi il n'y a pas nécessairement une inclusion mais je ne sais pas si c'est une justification rigoureuse.
  • leon1789
    leon1789
    Bonjour
    La réponse peut se faire à plusieurs degrés de compréhension.

    - 1er degré : si les intervalles de confiance sont de la forme $[\mu - t \sigma; \mu+t\sigma]$ où $t$ dépend du niveau de confiance (t=1.96 pour un niveau de confiance de 95%, etc.) alors, oui, un intervalle de confiance de niveau $\beta$ est inclus dans un intervalle de confiance de niveau $\alpha$ si et seulement si $\beta \leq \alpha$.

    -2ème degré : si les intervalles de confiance sont de forme libre (cf la définition générale d'un intervalle de confiance) alors on peut trouver
    des intervalles de confiance de niveaux $\alpha$ et $\beta$ avec $\beta < \alpha$, sans que l'un des intervalles soit inclus dans l'autre.
    Autrement dit, si un intervalle de confiance de niveau $\beta$ est inclus dans un intervalle de confiance de niveau $\alpha$ alors $\beta \leq \alpha$, mais la réciproque est fausse.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour Maxh.

    Tu es bien dans le cas que je précisais ("pour des intervalles de confiance centrés sur la moyenne, la définition suffit à conclure"). Et comme tu n'as pas redonné la définition (seulement une formule dans un cas particulier), tu n'as pas vu que c'est évident.
    Un intervalle de confiance à t% est un intervalle dans lequel, avant l'échantillonnage (échantillon représentatif), la probabilité que la vraie valeur y soit était de t%. Si on prend des intervalles centrés sur la moyenne vraie, tous ces intervalles (quant t varie) sont emboités, et les propriétés des probabilités font qu'il est évident que si t augmente, l'intervalle augmente aussi : Si l'intervalle I est celui à 95%, tous les éléments de I font partie d'un intervalle à 99%, qui contient ceux-ci et d'autres, plus éloignés de la moyenne.

    Par contre, dans certains cas, on utilise la moyenne de l'échantillon, pas la moyenne vraie. Si on fait deux échantillonnages, les intervalles ne se recouvrent pas nécessairement, puisque ils ne sont pas centrés sur les mêmes valeurs.

    En tout cas, on trouve d'excellents cours de statistiques inférentielle (livres, pdf) que tu peux étudier soigneusement si tu veux creuser le sujet.

    Cordialement.
  • leon1789
    leon1789
    gerard0 écrivait:
    > Par contre, dans certains cas, on utilise la moyenne de l'échantillon, pas la moyenne vraie.

    C'est étrange de dire cela, Gérard : l'intérêt de l'intervalle de confiance est d'encadrer (comme tu l'as rappelé) la valeur vraie, pour en avoir une estimation. Donc, on ne connait pas la valeur vraie quand on utilise un intervalle de confiance. La plupart du temps, on utilise la moyenne de l'échantillon comme centre de l'intervalle de confiance (c'est plus simple), mais les "meilleurs" intervalles de confiance ne sont pas centrés en la moyenne de l'échantillon.

    gerard0 écrivait:
    Si on fait deux échantillonnages, les intervalles ne se recouvrent pas nécessairement, puisque ils ne sont pas centrés sur les mêmes valeurs.

    Evidemment, si on change d'échantillon, l'intervalle de confiance change puisque c'est un intervalle aléatoire.
    Ce que j'expliquais dans mon second point, c'est que, pour un même échantillon, on peut trouver des intervalles de confiance de niveaux $\alpha$ et $\beta$ avec $\beta<\alpha$, sans que l'un des intervalles soit inclus dans l'autre.
  • gerard0
    gerard0
    Heu ... l'intervalle de confiance n'est pas toujours un intervalle de confiance sur la moyenne (dans la formule de Maxh, on ne sait pas ce que sont $\mu$, et $\sigma$, lettres généralement utilisées pour la moyenne vraie et l'écart type vrai), et même, si c'est un intervalle de confiance sur la moyenne, d'un échantillon à l'autre la valeur de $\mu$, estimation de la moyenne, change. On est bien d'accord. Après avoir redit comme toi, j'ai vu un cas différent, qui ne remet pas en cause ce qui précède.

    C'est le problème, avec ces questions posées en peu de mots par un auteur qui croit qu'on sait ce qu'il a dans la tête.

    Cordialement.
  • Dom
    Dom
    Juste des termes permettant de clarifier : moyenne de l'échantillon (pas forcément la "vraie moyenne"), moyenne de la population ("vraie moyenne").
  • leon1789
    leon1789
    gerard0 écrivait:
    > l'intervalle de confiance n'est pas toujours un intervalle de confiance sur la moyenne

    je suis d'accord.


    Ok, Gérard.
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