Processus de naissance et de mort
dans Statistiques
Bonsoir,
J'ai un problème pour savoir comment simuler un processus.
On suppose qu'il n'y a qu'un seul individu à t=0. On suppose que chaque individu à une durée de vie exponentielle de paramètre lambda au bout duquel il meurt et donne naissance à un nombre aléatoire d'individu suivant une loi de [large]P[/large]oisson de paramètre mu (toutes ces variables aléatoires sont mutuellement indépendantes). Si à un moment il n'y a plus d'individu vivant, la population reste ensuite toujours égale à 0. On note enfin Xt le nombre d'individus vivants à l'instant t et Yt le nombre de morts à l'instant t.
Les processus X et Y peuvent-ils être vus comme des processus de branchement (du genre Galton-Watson) ?
Sinon, qu'est-ce qu'il y a à rajouter dans la modélisation par rapport à un processus de branchement ?
J'y ai réfléchi et je trouve que dans ce problème il y a les durées de vie de loi exponentielle, ce qui n'est pas considéré dans un processus de branchement (qui se focalise sur la loi de natalité). Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance pour vos réponses.
[Siméon Poisson (1781-1840) prend toujours une majuscule. AD]
J'ai un problème pour savoir comment simuler un processus.
On suppose qu'il n'y a qu'un seul individu à t=0. On suppose que chaque individu à une durée de vie exponentielle de paramètre lambda au bout duquel il meurt et donne naissance à un nombre aléatoire d'individu suivant une loi de [large]P[/large]oisson de paramètre mu (toutes ces variables aléatoires sont mutuellement indépendantes). Si à un moment il n'y a plus d'individu vivant, la population reste ensuite toujours égale à 0. On note enfin Xt le nombre d'individus vivants à l'instant t et Yt le nombre de morts à l'instant t.
Les processus X et Y peuvent-ils être vus comme des processus de branchement (du genre Galton-Watson) ?
Sinon, qu'est-ce qu'il y a à rajouter dans la modélisation par rapport à un processus de branchement ?
J'y ai réfléchi et je trouve que dans ce problème il y a les durées de vie de loi exponentielle, ce qui n'est pas considéré dans un processus de branchement (qui se focalise sur la loi de natalité). Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance pour vos réponses.
[Siméon Poisson (1781-1840) prend toujours une majuscule. AD]
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Réponses
Je vais essayer de voir comment relier le processus de branchement et le processus de vie et de mort dans le cadre que vous fixez mais je ne peux tenter de le faire avant le milieu de la semaine prochaine donc si vous avez la réponse avant ou si c'est trop urgent : prévenez-moi s'il vous plaît ?
Bon week-end.
J'aurais deux remarques à faire et une anedocte :
Remarque 1 : On fait la distinction entre les chaîne de Markov à temps discret et celles à temps continu.
Pour un processus à temps discret, on peut supposer que le temps est déterministe et on peut utiliser une unité. En ce qui concerne un processus à temps continu, ce dernier passe d'un état à un autre avec un temps aléatoire (la loi exponentielle pour vous).
Or, la définition du processus de branchement d'après Galton, Watson et Bienaymé (celui de l'inégalité) est un processus à temps discret ce qui n'est pas le cas dans ce que vous décrivez et donc, ce n'est pas un processus de branchement.
Remarque 2 : Le processus que vous décrivez ressemble fortement au processus de file d'attente "premier arrivé, premier servi" ("First in, First out") beaucoup utilisé en informatique à la différence près que le nombre de clients suit une loi de Poisson et le temps de service une loi exponentielle.
Anecdote sur le processus de branchement :en Angleterre au XIXe sciècle, on s'intéresse particulièrement à la disparition des noms de familles aristocratiques faute de descendants de sexe masculin. En 1873, Galton formalise ce problème de manière mathématique et, publie avec Watson un article sur ce sujet en 1874. Bienaymé avait déjà travaillé sur ce genre de problèmes mathématiques.
A suivre...
Bien cordialement
Merci pour votre réponse jma, cependant comme mon processus est absorbant en 0 ( car la population ne se reproduit plus, une fois qu'elle s'est éteinte), comment faire pour en tenir compte, est ce que cela veut dire que le serveur ferme le guichet une fois qu'il n'y a plus de clients ?
Aussi, comment tenir compte du fait que l'individu meurt en donnant naissance à d'autres individus, pour moi ca veut dire que à chaque client servi, il y a un nombre (suivant une loi de poisson) de nouveaux clients. comment cela se traduit au niveau des taux d'arrivées lambda et des taux de départ mu ? Comment s'appelle ce genre de file d'attente, ce n'est surement pas pour moi une file M/M/1 ?
Merci d'avance pour vos réponses.
Bien vous, lorsque vous posez des questions : elles ont l'avantage d'être claires ! (tu)On part sur un processus de file d'attente ! Je vais voir si je peux vous donner des pistes valables.
Bien à vous.
Je suis désolé mais je ne vais pas être très pédagogique car je suis en flux tendu (un client très très exigeant).
Je prends en compte votre dernier message mais pas le premier (des clients suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda $ et des temps indépendants de service et suivent une loi exponentielle de paramètre $\mu $).
D'après la définition d'un processus de naissance et de mort avec ses taux de naissance et de mort alors le processus M/M/s (ou M/M/1) est un cas particulier de cette définition avec :
* le taux de naissance : $\lambda _{i}=\lambda ~$ quels que soit $i\geq 0$,
* le processus de mort :$\mu _{i}=i.\mu $ si $1\leq i\leq s$ et $\mu _{i}=s.\mu $ si $i>s$;
Pour faire la lien entre la définition du processus de naissance et de mort, vous pouvez voir le lien entre les taux de naissance et de mort et les taux de transition instantanés de la chaîne de Markov continue.
Pour vos questions plus "qualitatives", je pense qu'en étant pragmatique sur le phénomène des clients arrivant à des guichets, vous pourrez comprendre. Pour l'état absorbant, il faut envisager une boucle...
Bien cordialement.