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Bonjour.

1) "en prenant alpha=5% à chaque test, le risque alpha "global" en faisant n tests est-il égal à 1-(0.95)^n? "
A priori, non. Mais oui si les tests sont indépendants (difficile à assurer parfois).
2) "La p-valeur va-t-elle converger? " Si l'hypothèse H₀ est parfaitement vraie, oui (l'estimateur utilisé est sans biais et convergent), vers 1. Sinon, il va aussi converger, mais vers 0. Mais tout ça c'est la théorie, et n'a de sens que pour un échantillon dont la taille tend vers l'infini. Ce qui n'a pas de sens statistique.
Cependant, ça explique pourquoi les tests sur des très grands échantillons sont quasi systématiquement significatifs.

Autre chose : Chaque test a un risque d'être significatif alors même que H₀ est vraie. Donc s'étonner de divergences quand on refait des tests et que déjà, le test n'est pas significatif, mais de peu est oublier la signification de la méthode.

Cordialement.

Je ne connais pas de méthode pour des tests dépendants, d'ailleurs, il y a une infinité de formes de dépendance. Par contre, je sais qu'en contrôle industriel, on utilise souvent des tests progressifs. On teste sur un échantillon de n individus, puis si le test n'est pas significatif, on reprend n autres au hasard, pour calculer le résultat sur les 2n individus. C'est intéressant quand la p-value est proche du seuil.

Je laisse d'autres répondre à ton interrogation.
Cordialement.