Signaux aléatoires, stationnaires, ergodiques

Bonjour
J'ai besoin d'aide pour éclaircir un point sur le calcul d'autocovariance.

Afin de caractériser de manière statistique un processus aléatoire - discret, de longueur T - la théorie nous dit de réaliser N fois ce processus aléatoire afin de calculer les différents moments (moyenne, puissance, covariance,...) sur l'ensemble des réalisations et ceci à chaque instant t_i. On a donc un vecteur aléatoire X, de longueur T, où chaque variable aléatoire X(t_i) contient N réalisations.

Ainsi, si on cherche à comparer deux variables aléatoires, l’espérance est la suivante :
E[X(t₁)X(t₂)] = Rx(t₂-t₁) = autocorrelation (ou autocovariance si on centre les variables aléatoires).

Une meilleure définition de l'autocovariance est visible ici page 6 : https://perso.esiee.fr/~bercherj/New/polys/poly_alea.pdf

Ensuite, si les signaux sont stationnaires, alors chaque variable aléatoire est soumise à la même loi, et l'autocorrelation/autocovariance ne dépend plus du temps, mais seulement de l'écart Tau=t₂-t₁, et devient donc une intégrale simple --> voir page 7.

Viennent alors les points que je ne comprends pas très bien.
- Avant la stationnarité, l'autocovariance est définie par une double intégrale sur les deux variables X(t₁) et X(t₂). Si le processus aléatoire est stationnaire, l'autocovariance devient une intégrale simple sur X(t)X(t-tau).
Donc, si j'ai bien compris, les deux doivent forcément être équivalentes non ? Pourtant je n'obtiens pas les mêmes résultats lorsque je fais des essais sur des bruits blancs.
- À quel moment intervient l'ergodicité là-dedans ? Car même si je fais mes calculs avec des moyennes temporelles, je n'arrive toujours pas à obtenir le même résultat avec l'intégrale double et l'intégrale simple.

En d'autre mots, je pense plutôt bien comprendre la philosophie de tout ça, mais en quoi est-ce logique de faire une intégrale double si le signal est non stationnaire ?