Densité conditionnelle

srih · November 2018

Bonjour
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires dépendantes continues, tq
$X$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$ et
$Y=X+\varepsilon$ avec $\varepsilon\rightarrow \mathcal{N}(0,1)$
Je voudrais savoir, comment calculer la densité conditionnelle de $Y$ sachant $X= x$ qui est définie par
$f_{X\mid Y} (x\mid y) =\frac{ f_{X,Y} (x, y)}{f_{X}(x)}$
et même dans le cas où
$Y=g(X)$ ($g$ est une fonction quelconque) par exemple $Y=\sin(X)$.
Je vous remercie.

ptiteuclide · November 2018

Je présume que les variables aléatoires $X$ et $\varepsilon$ sont indépendantes. Dans ce cas, comme on connaît la loi de chaque variable, on connaît la loi du couple $(X,\varepsilon)$. Ton problème est de déterminer la loi de $(X,Y) = (X,X+\varepsilon)$ puisque la densité de ce couple te donnera le numérateur de la densité conditionnelle.

Cela relève du problème plus général suivant. Soit $\varphi : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ un difféomorphisme. Connaissant la loi de $(X,\varepsilon)$, quelle est la loi de $\varphi(X,\epsilon)$ ? Ici $\varphi(x,e) = (x,x+e)$. La réponse est la suivante. Si $f_{X,\varepsilon}$ est la densité du couple $(X,\varepsilon)$, alors la densité de $\varphi(X,\epsilon)$ est $\frac{f \circ \varphi^{-1}}{J_\phi}$, où $J_\phi$ est le jacobien de $\varphi$ au point considéré. Dans ton problème, $\varphi$ est linéaire, donc son jacobien est constant, égal à son déterminant.

En appliquant cette règle dans la deuxième égalité qui suit, tu trouveras que $f_{X,Y}(x,y) = f_{X,X+\varepsilon}(x,y) = f_{X,\varepsilon}(x,y-x) = f_X(x)f_\varepsilon(y-x)$. Intuitivement, la probabilité infinitésimale que $X=x$ et $Y=X+\varepsilon=y$ est la probabilité que $X=x$ et $\varepsilon=y-x$.