Lois conjuguées

Ce serait bien d'apprendre le latex. Posons $s=\sum_{I=1}^Ne_i.$ Comme $Y=\sum_{i=1}^Ny_i$ suit une loi de Poisson de moyenne $s\Lambda$ et que $\Lambda\sim \Gamma(\alpha,\beta)$, alors la loi jointe de $(Y,\Lambda)$ est
$$\Pr(Y=n,\Lambda\in d\lambda)=\frac{(s\lambda)^n}{n!} e^{-s\lambda}\times e^{-\beta \lambda}\beta^{\alpha}\frac{\lambda^{\alpha-1}}{\Gamma{\alpha}}d\lambda \ \ \ \ \ (*).$$Maintenant un point un peu penible est de calculer $\Pr(Y=n).$ En integrant (*) par rapport a $\lambda$: tu obtiens
$$\Pr(Y=n)=\frac{\beta^{\alpha}s^n}{(\beta+s)^{\alpha+n}}\frac{\Gamma(\alpha+n)}{\Gamma(\alpha)}\frac{1}{n!}.\ \ \ (**)$$ En faisant le quotient de (*) et de {**} tu obtiens ce que tu veux.