Vocabulaire intervalle de fluctuation.
dans Statistiques
Bonjour,
si $X$ est une v.a. suivant une loi normale de paramètres $m$ et $s$, le fameux intervalle de fluctation $IF_{95}=[m-1.96s;m+1.96s]$ est appelé (selon moi;-) )intervalle de fluctuation de niveau de confiance 95 % ou intervalle de fluctuation au seuil de 5 %.
Les deux appellations sont elles correctes ?
Bonne journée
F.
si $X$ est une v.a. suivant une loi normale de paramètres $m$ et $s$, le fameux intervalle de fluctation $IF_{95}=[m-1.96s;m+1.96s]$ est appelé (selon moi;-) )intervalle de fluctuation de niveau de confiance 95 % ou intervalle de fluctuation au seuil de 5 %.
Les deux appellations sont elles correctes ?
Bonne journée
F.
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Réponses
C'est un intervalle de fluctuation, pas de confiance.
-- Schnoebelen, Philippe
Lorsque on utilise un tel intervalle de par exemple pour un test d'hypothèse on parle de test au seuil de 5 %.
Merci et bonne journée.
Le mot seuil pose problème, comme tu le remarques. Pour un test d'hypothèse, on préfère parler de risque à 1% ou de confiance à 99%, au moins c'est clair. Et il est sain de toujours traduire la situation. Si tu as trouvé l'intervalle [2;6] comme intervalle de fluctuation sur X à 95%, il est mieux de continuer en disant "la probabilité qu'une réalisation de X soit entre 2 et 6 ets 95%.
Cordialement.
-$IF_{95}$ est l'intervalle de fluctuation à 95 %, dans ce cas on ne parle pas de seuil,
-pour un test d'hypothèse on parle de risque de niveau $a$ ou de confiance de niveau $1-a$,
-dans le cadre de l'approximation d'une loi binomiale par une loi normale, $IF_{95}$ est alors l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % ?
Toujours à propos de statistiques quelle est la notation usuelle de la loi normale de moyenne $m$ et d'écart-type $s$, $N(m,s)$ ou $N(m,s^2)$ ? Personnellement je pencherais pour la première, qui est celle que j'ai rencontré à peu près dans tous les cours de proba-stats que j'ai pu parcourir et qui n'est étonnement pas celle du programme officiel de TS -;)
programme TS
"dans le cadre de l'approximation d'une loi binomiale par une loi normale, .." on se retrouve avec une loi Normale. Plutôt que de parler "d'asymptotique", ce qui n'a aucun sens puisque n est fixé, restons conscient de l'approximation faite.
La notation qui devient classique pour une loi Normale est de donner sa moyenne et sa variance : $N(m,s^2)$, surtout lorsqu'il s'agit d'une approximation, car on a un estimateur simple, sans biais et convergent de la variance, pas de l'écart type.
Cordialement.
-- Schnoebelen, Philippe
je vais dire une bêtise, mais n'est-il pas étrange de disposer d'un estimateur simple, sans bais et convergent pour la variance et pas pour l'écart type ? Naïvement, je me dis qu'il suffit d'ajouter une racine carré à ce fameux estimateur pour obtenir une estimation sympathique de l'écart type...
Bonne soirée.
F.
Mais si tu regardes bien les propriétés des variables aléatoire ou statistiques, tu verras qu'on utilise souvent la variance, rarement l'écart type (seulement utile pour avoir une idée saine de la dispersion). Donc une bonne estimation de la variance est souvent très suffisante.
Cordialement.
Naïvement, si je dispose de $X_1,\ldots,X_n$, $n$ variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi normale de paramètres $m$ et $\sigma$, je prendrais pour estimateur de la moyenne $M=\frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)$ et pour estimateur de la variance $V= \frac{1}{n}(X_1^2+\cdots+X_n^2) -M^2$.
Dans ce cas, la loi de $M$ est une loi normale de paramètres $m$ et $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, la loi de $V$ étant quand à elle une loi, dont je ne connais pas le nom, de moyenne $\frac{n-1}{n} \sigma^2$.
Je me retrouve donc dans ce cas avec un estimateur de la variance biaisé ...
Bonne journée.
F.
mais il est facile d'en déduire un estimateur non biaisé de la variance (n est une constante). On trouve ça dans tous les cours de statistiques inférentielles ...
Et c'est valable même si les $X_i$ ne suivent pas une loi Normale (*), puisque les calculs se font aussi.
Cordialement.
(*) d'ailleurs pourquoi cette condition, quasiment jamais réalisée en statistiques concrètes ?
si l'on note $V'=\frac{n}{n-1}V$ cet estimateur, l'espérance de $V'$ est bien $\sigma^2$.
Cela signifie que si on effectue un échantillonnage de taille $n$, on utilise $V_{est}=\frac{n}{n-1}V_{ech}$ comme estimation de la variance, et donc $\sigma_{est}=\sqrt{V_{est}}$ comme estimation de l'écart-type. Toutefois, la variable aléatoire $\sqrt{V'}$ n'a pas pour espérance $\sigma$ et ne constitue donc pas à proprement parler un estimateur statistique. C'est bien cela ?
Merci pour vos réponses et bonne journée.
F.
Avec tes notations, l'estimateur
$s²= \frac{1}{n-1}((X_1-M)^2+\cdots+(X_n-M)^2)=\frac n{n-1}\left[ \frac{1}{n}(X_1^2+\cdots+X_n^2) -M^2\right]$
Est un estimateur sans biais et convergent de la variance de la population.
Mais $s$ est un estimateur biaisé de l'écart type de la population. On connaît un estimateur sans biais de l'écart type, mais personne ne l'utilise, d'une part parce qu'il est compliqué, d'autre part parce que son carré n'est pas un estimateur sans biais de la variance, enfin pour les raisons que je donnais précédemment, en particulier parce que les calculs simples sont avec la variance, pas l'écart type.
Il faut relativiser l'idée d'écart type, qui sert surtout à donner "une idée de la dispersion".
Pour ce que tu dis à la fin, je suis d'accord, sauf sur le fait que $\sqrt{V'}$ n'est pas un estimateur statistique. C'en est un, mais qui manque de certaines propriétés utiles, comme l'absence de biais.
Cordialement.