Indépendance des variables aléatoires

C'est illisible. Mais on peut penser que l’énoncé est

Soit $X_1,\ldots,X_n$ indépendantes et de même loi $N(m,\sigma^2).$ Montrer que $\overline{X}=\frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)$ et $X_j-\overline{X}$ sont indépendantes.

Il suffit de le montrer pour $j=1.$ Utilisons la fonction caractéristique de la loi jointe$$
\mathbb{E}\left(e^{is\overline{X}+it(X_1-\overline{X})}\right)=e^{P(s,t)}$$ où $P$ est un polynôme de la forme $as+bt+As^2+2Bst+Ct^2.$ Donne toi la peine de calculer soigneusement $P$ et tu verras que $B=0$, ce qui fournit l’indépendance voulue.