Estimation des solutions d’un système

Je pense qu'il veut dire que son système est sur-déterminé, et n'admet pas de solution.

Ce que tu proposes Vall est une façon de faire. La façon la plus courante de résoudre le problème est de calculer une solution $x$ qui minimise la distance entre $Ax$ et $b$, où $Ax=b$ est l'écriture de ton système linéaire sous forme matricielle. C'est ce qu'on appelle un moindres carrés linéaire.

Il en existe toujours au moins une (généralement exactement une pour un système sur-déterminé). Une telle solution est donnée par la résolution des équations normales :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_des_moindres_carrés#Équations_normales
https://fr.wikipedia.org/wiki/Pseudo-solution
http://pedagotech.inp-toulouse.fr/140727/res/ch04.pdf

Je ne pense pas que ce soit du niveau Terminale, enfin ça dépend exactement de ton but. Si tu veux juste calculer une telle solution ou si tu veux comprendre la théorie (c'est assez élémentaire mais ça demande tout de même un minimum d'algèbre linéaire).

A noter que quand tu dis que tu veux trouver la meilleure solution possible, ça n'a pas de sens tant que tu ne définis pas ce que veut dire une solution meilleure qu'une autre. Dans le cas que j'ai exposé on dit qu'une solution est meilleure si la distance entre $Ax$ et $b$ est plus petite. Ce choix a des justifications théoriques (probabilistes), mais c'est surtout parce que ça donne une solution simple à calculer. D'autres choix sont possibles bien entendu, par exemple https://en.wikipedia.org/wiki/Least_absolute_deviations

YvesM, j'ai dû mal comprendre. Pour un système sous-déterminé on pourrait fixer une variable, ou en faire un paramètre, pour restreindre l'espace des solutions et rendre le système inversible, bien qu'il y ait de meilleures manières de résoudre un système sous-déterminé.

Mais ici je ne vois pas ce que ça apporte, si on fixe une variable on obtient 5 équations à 3 inconnues, c'est encore pire.

Ton système d'équations, c'est :
2x - y - z - t = 1
x - 3y + z + t = 12
x + y - 2z + 4t = 8
x - y + z - 2t = -4
2x + y + 3z + 4t = 5

On est optimiste, on considère qu'on va trouver une solution 'optimale' pour ce système.

Maintenant, imaginons le système d'équations suivant :
4x - 2y - 2z - 2t = 2
x - 3y + z + t = 12
x + y - 2z + 4t = 8
x - y + z - 2t = -4
2x + y + 3z + 4t = 5

En fait c'est le même, j'ai juste réécrit un peu différement la 1ère équation. Notre solution optimale, elle doit être la même avec ce nouveau système d'équations, ou bien elle doit changer ?