Cross-correlations et matrice de Fisher

Bonjour,
j'aurais besoin de votre aide concernant le calcul numérique d'éléments de la matrice de Fisher.
Je travaille sur le formalisme de Fisher afin d'obtenir des contraintes sur les paramètres cosmologiques.
J'essaie de faire une corrélation croisée entre 2 types de populations de galaxies (LRG / ELG) sur un ensemble total de 3 types de population (BGS, LRG, ELG).

Dans l'article suivant, https://arxiv.org/pdf/0909.4544.pdf , à la page 14 figure l'équation suivante eq(63):



Comme vous pouvez le constater, dans l'équation (63), il y a une somme sur chaque paire de types de population. Dans mon cas, j'ai 3 populations (BGS / LRG / ELG), donc le terme $ C^{- 1} _{AB} $ devrait avoir une taille de $4\times 4$ (avec $ aa = BGS, \quad bb = LRG ,\quad cc = ELG \quad $ et $\quad bc = LRG\times ELG $) comme ceci.




Mais si je prends eq (64), eq (65) et le compare à la formule eq (63), je ne trouve pas l’expression du quatrième élément du facteur de spectre de puissance $P_A$, c’est-à-dire lorsque l’indice $A = 4$.

Si je suis ce qui est dit dans le papier," où $A, B$ désignent différentes paires de traceurs"

QUESTION 1) De votre point de vue, quelle est la taille de $ C^{-1}_{AB}$, c'est-à-dire $3\times 3$ ou $4\times 4$ ?

D'autre part, je pense que les termes non diagonaux sur une matrice de covariance $4\times 4$ transféreront des informations lorsque j'invertirai celle-ci, et je ne peux donc additionner que $ C^{-1}_{AB} $ sur 3 populations du couple $(A,B)$. Je veux dire que leur contribution restera après inversion.

QUESTION 2) Qu'est-ce qui correspond par exemple au terme $ <C_{abcd}> $ puisque la population "d" n'existe pas ?

Comment puis-je faire en gros le lien avec la définition du terme de covariance: $C_{ij} = E[X_{i}\,X_{j}] - E[X_{i}]\,E[X_{j} ] $ ?

QUESTION 3) Numériquement, pour calculer eq(63), j'ai une meshgrid pour le facteur $\dfrac{\partial P_{A}}{\partial p_{i}}$ et $\dfrac{\partial P_{B}}{\partial p_{j}}$.

Comment gérer le produit avec $C^{-1}_{AB}$ (est-ce que $C^{-1}_{AB}$ en scalaire ?) ?
En effet, si j'essaie d'inverser la matrice de covariance $C_{AB}$, j'obtiens une erreur.

Donc j'imagine que je dois convertir cette matrice $C^{-1}_{AB}$ en un scalaire : je ne sais pas comment faire le produit des 2 meshgrids $\dfrac{\partial P_{A}}{\partial p_{i}}$ et $\dfrac{\partial P_{B}}{\partial p_{j}}$ avec la matrice $4\times 4,\ C^{-1}_{AB}$.

Merci pour votre aide.