Variance à partir de moyenne et étendue

Bonjour à tous et à toutes,

J'aide un ami dans son cours de statistiques et je suis pris à un exercice. J'ai réussi à trouver la réponse, mais quand j'ai essayé de lui expliquer ma démarche j'ai réalisé qu'elle ne semblait plus avoir trop de sens.

Voici le problème: Une série statistique comporte deux modalités. Son étendue et de 2 et sa moyenne est de 3. Quelle est sa variance?

Et voici ce que j'ai fait:

• En sachant qu'il y a deux modalités et que la moyenne est de 3, on peut écrire la moyenne: (X + Y)/2 = 3 où X et Y sont les modalités
• En sachant que l'étendue est de 2, on peut remplacer Y par X + 2. Donc (X + X + 2)/2 = 3
• On obtient donc X = 2
• On peut donc calculer la variance en faisant: (2² + (2+2)²)/2 - 3² = 1

1 est effectivement la bonne réponse. J'ai essayé la même démarche avec d'autres exercices pareils mais qui ont de différentes valeurs pour l'étendue et la moyenne (mais toujours avec deux modalités) et à chaque fois la réponse était bonne. C'est quand j'ai essayé d'expliquer ma démarche que ça s'est gâté parce que je n'ai pas tenu compte des effectifs. Mon explication ressemblait donc à:

• En sachant que la moyenne est de 3, on écrit la moyenne: (X*A + Y*B)/(A + = 3 où X et Y sont les modalités et A et B sont leurs effectifs respectifs
• En sachant que l'étendue est de 2, on peut remplacer Y par X + 2. Donc (X*A + (X+2)*B)/(A + = 3
• J'ai maintenant une équation à 3 inconnus
• ????

J'ai essayé de faire une preuve mathématique qui pourrait m'amener de (X*A + Y*B)/(A + = 3 à (X + Y)/2 = 3 mais je n'ai rien trouvé. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider à résoudre le problème comme une personne normale afin que je puisse voir où je me suis trompé?

Merci!