Convergence presque sûre, erreur ?
dans Statistiques
Bonjour
N'y a-t-il pas une erreur dans cet exercice sur la convergence presque sûre ? J'ai l'impression que l' auteur prouve une convergence en proba ici...
N'y a-t-il pas une erreur dans cet exercice sur la convergence presque sûre ? J'ai l'impression que l' auteur prouve une convergence en proba ici...
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Réponses
1) $X_{(n)}$ converge en proba vers 1
2) pour tout $\omega$ la suite $X_{(n)}(\omega)$ est croissante majorée donc elle converge vers une v.a. $X_\infty (\omega)$.
On déduit de 2) + 3) que $X_\infty (\omega)=1$.
Pour ta dernière question j'ai répondu dans mon 1er message.
Je penses que l'auteur voulait écrire comme $X_{(n)}$ est plus petit que la va constante égale à 1 on a que $P(|1-X_{(n)}|\leq\varepsilon)=P(1-X_{(n)} \leq\varepsilon)=P(X_{(n)}>1-\varepsilon)=1-F_{X_{(n)}} (1-\varepsilon)=1-(1-\varepsilon)^n \to 1$
Or la série $\sum a^k$ étant convergente lorsque $a<1$ on obtient le résultat escompté !
( $\sum P(|1-X_{(n)}| > \varepsilon) = \sum (1 - \varepsilon)^k$ )