Convergence presque sûre, erreur ?

student2
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dans Statistiques
Bonjour
N'y a-t-il pas une erreur dans cet exercice sur la convergence presque sûre ? J'ai l'impression que l' auteur prouve une convergence en proba ici...85570

Réponses

  • Lucas
    Lucas
    Oui, l'exo ne semble pas fini il faudrait voir ce qui suit. Mais dans ce cas c'est assez facile d'en déduire la convergence p.s. car on a
    1) $X_{(n)}$ converge en proba vers 1
    2) pour tout $\omega$ la suite $X_{(n)}(\omega)$ est croissante majorée donc elle converge vers une v.a. $X_\infty (\omega)$.

    On déduit de 2) + 3) que $X_\infty (\omega)=1$.
  • Chalk
    Chalk
    A noter que $\mathbb P(|1-X_{(n)}|) < \epsilon$ ne veut rien dire, quel est donc l'événement $|1-X_{(n)}|$ ?
  • student2
    student2
    En fait pour moi ce n'est même pas une convergence en probabilité, l'auteur semble déconner...
  • student2
    student2
    Plutôt que suivre la démo de l'auteur, comment feriez vous pour prouver que $X_{(n)}$ converge ne proba et presque surement vers 1 ?
  • Lucas
    Lucas
    Ah oui effectivement en googlant le bout de texte je suis tombé sur la page d'après, c'est pas fameux-fameux son exemple.

    Pour ta dernière question j'ai répondu dans mon 1er message.
  • student2
    student2
    @Skyffer, oui j'ai l'impression qu'il y a des fautes de frappes en plus:
    Je penses que l'auteur voulait écrire comme $X_{(n)}$ est plus petit que la va constante égale à 1 on a que $P(|1-X_{(n)}|\leq\varepsilon)=P(1-X_{(n)} \leq\varepsilon)=P(X_{(n)}>1-\varepsilon)=1-F_{X_{(n)}} (1-\varepsilon)=1-(1-\varepsilon)^n \to 1$
  • student2
    student2
    Dans le bouquin de Appel, ils donnent deux formulations (conditions suffisantes) pratiques de la convergence presque sûre en se servant du lemme de Borel Cantelli, notamment que si $\sum P(|X_n-X|)>\varepsilon)$ converge pour tout epsilon alors on obtient la convergence presque sûre.
    Or la série $\sum a^k$ étant convergente lorsque $a<1$ on obtient le résultat escompté !
    ( $\sum P(|1-X_{(n)}| > \varepsilon) = \sum (1 - \varepsilon)^k$ )
  • student2
    student2
    Re, N'y a-t-il pas une autre erreur dans cet exemple ? Ne faut-il pas supposer que p=1/2 ??85584
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