L'énigme du prince de Toscane

student2
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dans Statistiques
Bonjour

Partant du constat que les nombres 9 et 10 s'écrivent d'autant de façon comme somme de 3 chiffres compris entre 1 et 6 pourquoi lors d'un lancer de 3 dés il y a plus de chances d'obtenir 10 ?

Cette question est facilement résoluble en traitant chacune des combinaisons en revanche je bute un peu plus sur le test statistique évoqué. Avez-vous des idées ?
Merci
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Réponses

  • student2
    student2
    On s’intéresse à l'hypothèse $H_0: \quad p_1=P(X_1+X_2+X_3=10)=P(X_1+X_2+X_3=9)=p_2$ cependant il faudrait expliciter la statistique de test.
    J'imagine qu'il s'agit du test du chi2 (adéquation entre deux loi discrètes) mais j'ai quelques difficultés à le formaliser (et trouver les ddl).
    En fait les deux variables aléatoires1$_{X_1+X_2+X_3=10}$ et $1_{X_1+X_2+X_3=9}$ suivent des lois de [large]B[/large]ernoulli et la question concerne l'égalité en loi de ces 2 v.A.
    Je pense que maintenant que le problème est bien posé ça devrait être plus simple ;) J'y réfléchis...

    [ Bernoulli prend toujours une majuscule et pas de 'i' devant 'll'; AD]
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Le test est celui des fréquences sur un tirage de n fois trois dés. les fréquences de 9 et de 10 étant notées f et g, on fait l'hypothèse $H_0 : f=g$ qu'on teste contre $H_1 : f\neq g$. Reste à savoir quelle règle probabiliste on déduit de l'hypothèse.

    Cordialement.
  • lourrran
    lourrran
    Je pense que le test évoqué, c'est une simulation. On fait comme si on ne connaissait pas les nombres imprimés sur les faces des dés.
    On lance 3 dés, on note le résultat (somme des 3 dés), on ne note le résultat que si cette somme donne 9 ou 10, inutile de s'encombrer avec des comptages qu'on n'exploitera pas.
    On répète l'opération disons 5000 fois.
    On obtient par exemple 500 fois le nombre 9, et 600 fois le nombre 10.
    600 est sensiblement plus grand que 500, mais l'écart est-il suffisant pour conclure quelque chose. Peut-être qu'on a eu énormément de chance, mais peut-être que on peut faire confiance à nos lancers, et conclure : Il y a 95% de chance que 10 sorte plus souvent que 9.

    La question est donc : combien de lancer faut-il faire pour pouvoir tirer une conclusion.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • student2
    student2
    @lourran: oui c'est exactement la manière dont je pensais la procédure. Cependant je ne sais pas si ça change grand-chose mais puisque je m'interesse à l'IC sur la différence des paramètres de deux lois de Bernoulli:
    1) il me semble que la procédure nécessite deux échantillons indépendants. Donc il faudrait peut être effectuer deux simulations (indépendantes) de 1000 tirages de triplets de dés.
    @Gérard: vous semblez expert dans le domaine qu'en pensez-vous ? Que conseillez-vous ? Cela fait-il une différence ?

    2) Dans le cas où l'on suit la démarche de 1) je ne sais expliciter facilement l'IC que dans un cadre asymptotique (loi normale)...
  • jma
    jma
    Petite parenthèse : Bernoulli parce que ce n'était pas une nouille. Bonne résolution.
  • gerard0
    gerard0
    Pourquoi 2 échantillons ???

    Avec l'hypothèse d'égalité des probabilités (j'ai parlé à tort de fréquences, les fréquences seront vues sur l'échantillon), les fréquences f et g suivent toutes les deux une loi binomiale de mêmes caractéristiques, donc on peut donner la loi de f-g qui est de moyenne 0. C'est donc sur f-g qu'on basera le test.

    Bon travail !
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