Test sur le coefficient de corrélation
dans Statistiques
Bonjour savez-vous où je peux trouver une démonstration de la loi prise par le coefficient de corrélation empirique sous l'hypothèse que les observations proviennent d'un couple gaussien et que la corrélation théorique entre mes deux variable aléatoire est nulle?
Réponses
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Je vous joins la formule à démontrer
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Up ! Ça fait 1h que je cherche sur le net sans succès la preuve que la statistique en image suit une loi de Student à n-2 ddl.
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Bonjour,
Est-ce que tu as essayé de le démontrer par toi-même ? (je ne connais pas le niveau de difficultés).
Cordialement. -
@jma: en fait la statistique $R$ est compliquée ($R=\dfrac{\sum_1^n(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{\sqrt{\sum_1^n(X_i-\bar{X})^2}\sqrt{\sum_1^n(Y_i-\bar{Y})^2}}$).
Comme il y a des produits de gaussiennes ($X_iY_i$) et des carré de gaussienne (donc surement du Chi2 qui se cache dessous ) je n'arrive pas à simplifier le problème. Pourtant Saporta parle de problème "simple" ^^
Je ne suis pas sûr qu'un simple carré de gaussienne indépendante ait une loi simple à calculer... -
Probleme plus simple: soit $X_1,\ldots,X_d,Y_1,\ldots,Y_d$ iid de loi $N(0,1)$ Loi de $R=\sum_{i}X_iY_i/\|X\|Y\|?$ Comme $X/\|X\|$ est uniforme sur la sphere unite, on est en train de chercher la loi du cosinus de l'angle de deux vecteurs independants et uniforme sur la sphere, et donc par invariance $R$ est de meme loi que $X_1/\|X\|.$ Donc
$$R^2\sim X_1^2/[X_1^2+(X_2^2+\cdots+X_d^2)]\sim\beta(1/2,(d-1)/2)$$ De plus la loi de $R$ est symetrique et on en deduit la loi de $R$.
Pour en revenir a ton cas, tu sais que $(X_i-\overline{X})_{i=1}^n$ est un vecteur gaussien concentre sur l'espace euclidien de dimension $d=n-1$ defini par $x_1+\cdots+x_n=0$ et de loi invariante par rotation. Tu appliques le resultat precedent et tu arrives ala densite desiree. -
Bonjour,
Il faut suivre avec P.
Tu peux commencer tout d'abord par répondre à la question dans ton dernier message : quelle est la loi d'une v.a. gaussienne au carré (c'est un classique du calcul des probabilités) ? Tu vas passer par un changement de variable adéquat...puis la fonction de répartition et enfin la dérivée de la fonction de répartition.
C'est bien le résultat du livre que tu cherches à "retrouver" mais pas directement la loi de R. Je pense que cela fera une différence dans tes calculs qui pourront durer quelques heures à quelques jours après on trouvera bien une façon plus simple de t'aider ("I hope so").
Cordialement. -
Bonjour,
Presque toute la démonstration est donnée dans le livre de Lejeune si tu cherches bien et de manière assez simple (un niveau L3/M1 en probabilités est parfois utile en statistique).
Bons calculs.
Cordialement.
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Bonjour!
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