Fonction de répartition et densité

grtl · May 2019

Bonjour,

On me demande de trouver la fonction de répartition de la la loi de densité suivante:

Pour tout $\theta > 0$
$f_{\theta}(x)=\frac{1}{2\theta}(1_{[0,\theta]}(x) + 1_{[2\theta,3\theta]}(x))$

La réponse est la suivante.

$F_{\theta}(x)=\frac{x}{2\theta}1_{[0,\theta[}(x)+\frac{1}{2}1_{[\theta,2\theta[}(x)+(\frac{x}{2\theta}-\frac{1}{2})1_{[2\theta,3\theta[}(x)+1_{[3\theta,+\infty[}(x)$

J'ai essayé d'intégrer la densité entre 0 et x mais sans résultat.

gerard0 · May 2019

Bonjour.

Représente la fonction densité, puis calcule l'intégrale dans les différents cas $x<0, 0\le x\le \theta, \theta<x<2\theta, 2\theta\le x\le 3\theta, x>3\theta$.

Bon travail !

grtl · May 2019

Alors voilà gerard0

par exemple si $0 \leq x \leq \theta$

$\int_{0}^{\theta} f_{\theta}(x)dx=\int_{0}^{\theta} \frac{1}{2\theta}dx=\left[\frac{x}{2\theta}\right]_{0}^{\theta}=\frac{1}{2}$

Tu peux m'aider à trouver mon erreur?

gerard0 · May 2019

Heu .... tu ne calcules pas F(x). Revois la définition : $F(x) = P(X\le x) = ...$

grtl · May 2019

si, je calcule F(x) en tant que intégrale de la densité

gerard0 · May 2019

Mais la fonction de répartition n'est pas n'importe quelle intégrale de la densité !! Tu pourrais apprendre correctement tes leçons !!

$F(x) = P(X\le x) = \int_{-\infty}^x f(t) \ dt$
$x$ est la borne, pas la variable d'intégration.