Inégalité moyenne arithmético harmonique

Mateo16 · May 2019

Bonsoir tout le monde. Je suis un nouveau membre de ce forum pour échanger des connaissances et s'entraider. Voilà depuis un moment déjà je n'arrive pas à résoudre un exercice qui demande de démontrer que la moyenne arithmétique est toujours supérieure ou égale à la moyenne harmonique en utilisant l'inégalité de Cauchy Schwarz

[Ne pas confondre Herman Schwarz (1843-1921) avec Laurent Schwartz (1915-2002). ;-) AD]
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Philippe Malot · May 2019

Bonsoir,
Les valeurs de ta série sont des nombres $x_i$ strictement positifs (c'est sous-entendu pour calculer une moyenne harmonique).
Sers-toi du fait que $x_i=\sqrt{x_i}^2$ pour tout $i$ et arrange-toi pour que le membre de gauche dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz soit égal à $n$.

Mateo16 · May 2019

Bonsoir, merci pour ta réponse mais dans l'énoncé les xi sont des réels pas nécessairement positifs sinon je n'ai pas bien compris ce que je dois faire.

lourrran · May 2019

L'énoncé parle de valeurs pas forcément positives, mais dit : ' la moyenne harmonique, lorsqu'elle existe'.
Sous-entendu : il y a des cas où la moyenne harmonique n'existe pas.... Quels sont ces cas ?

Dom · May 2019

Au cas où on diviserait par $0$ ?

lourrran · May 2019

Une façon de voir la moyenne harmonique, c'est $MH = \exp ( Moyenne ( \ln (x_i) )$
Autrement dit, on remplace la série des $x_i$ par la série des $\ln(x_i)$, on calcule la moyenne de cette nouvelle série, et, pour revenir à la dimension de départ, on prend l'exponentielle du nombre obtenu.
Avec cette définition, c'est normal de s'interdire les nombres négatifs.

Le problème n'est pas une question de division par 0. C'est : calculer la racine $n$-ième d'un nombre négatif.

gerard0 · May 2019

Iourran,

en trafiquant de la même façon la définition de la moyenne arithmétique, on s'interdira ce qu'on veut comme valeurs !!

La moyenne harmonique h est définie, depuis plus de 2000 ans par la formule (*)
$\displaystyle \frac 1 h = \frac{\sum\limits_{i=1}^n \frac 1 {x_i}} n$
C'est-à-dire que c'est l'inverse de la moyenne arithmétique des inverses.

Donc il faut que les inverses soient bien définis, qu'aucune valeur ne soit nulle, mais aussi que la moyenne des inverses ne soit pas nulle.
Plus gênant, comme le disait Phillippe Malot, cette inégalité n'est valide que pour des nombres strictement positifs. Elle est même fausse pour des négatifs (l'inégalité est inversée quand on multiplie les nombres par -1).
L'énoncé est fautif en ne parlant pas d'une série statistique positive).

Cordialement.

(*) bien évidemment, présentée autrement au temps des mathématiciens grecs

lourrran · June 2019

Oupss
J'étais sur la moyenne géométrique, pas harmonique. Effectivement rien à voir.

Inégalité moyenne arithmético harmonique

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