Maximum de vraisemblance

antho398 · June 2019

Bonjour à tous,
je bute sur le calcul de l'estimateur du maximum de vraisemblance du paramètre $\lambda$ suivant.

Soit $(X_i)_{1 \leq i \leq n}$ un échantillon iid de loi $\mathcal{E}(\lambda)$.
Soit l'observation $(Y_1,\ldots,Y_n)=\big(\mathbb{1}_{(X_1 \leq \delta)}, \ldots, \mathbb{1}_{(X_n \leq \delta)}\big),$ où $\delta$ est connu.
Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance $\lambda$.

Je ne sais comment utiliser la contrainte générée par l'indicatrice.
L'un d'entre vous aurait-il une idée ?
Amicalement
Antho

P. · June 2019

On observe la somme $X$ que tu donnes qui est le nombre de $i$ tels que $X_i<\delta.$ Or $\Pr(Y_i>\delta) =e^{-\delta \lambda}.$ Donc $X$ suit une loi binomiale $B(n,p)$ avec $p=1-e^{-\delta \lambda}.$ Le max de vraisemblance pour $p$ est $X/n.$ Donc le maximum de vraisemblance pour $\lambda$ est $$\frac{1}{\delta}\log \frac{1}{1-\frac{X}{n}}.$$

jma · June 2019

Il n'y a pas un petit problème avec la première phrase ? Y_i ne prend pas que deux valeurs ?
Cordialement.

P. · June 2019

Merci jma, j'ai corrige.

antho398 · June 2019

C'est parfait, j'ai saisi je pense, mais j'ai rédigé légèrement différemment pour le même résultat (sans utiliser la loi binomiale, mais juste les va de Bernoulli associées)

La vraisemblance s'écrirait : $L(y_1,\ldots,y_n,\lambda) = \prod_{i=1}^n (1-e^{-\lambda \delta})^{y_i} (e^{-\lambda \delta})^{1-y_i}$.

Le résultat apparaît classiquement en trouvant l'extremum de la fonction score associée.
Merci encore pour vos contributions.
Anthony