Résidus et chi2

Bonjour, je résume ci-dessous mon problème en espérant ne pas m'être mélangé les pinceaux dans les notations:

Considérons le modèle de régression linéaire simple $y_i=ax_i+b + \varepsilon_i, 1\leq i\leq n$, dans lequel les erreurs $\varepsilon_i$ suivent une loi normale $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$, $\hat{a}$ et $\hat{b}$ sont les estimateurs des paramètres inconnus $a$ et $b$, $\hat{y}_i=\hat{a} x_i +\hat{b}$ est la valeur prédite (au point $x_i$) et $\hat{\varepsilon}_i=y_i-\hat{y}_i$ est le résidu.

Le décor étant planté, dans tout document sur la régression qui se respecte (le document...), on apprend que $\dfrac{ \sum{{\hat{\varepsilon}_i}^2}}{\sigma^2}$ suit une loi du $\chi^2$ à $n-2$ ddl (ce qui permet par exemple de calculer un intervalle de confiance pour la variance $\sigma^2$).

Bon, ça n'est pas tout à fait présenté comme ça ; on commence par définir un estimateur de $\sigma^2$ en prenant $\hat{\sigma^2}=\dfrac{ \sum{{\hat{\varepsilon}_i}^2}}{n-2}$, puis on dit que $\dfrac{(n-2) \hat{\sigma^2}}{\sigma^2}$ suit la fameuse loi du $\chi^2$...

Bref, je cherche une démonstration mathématique de ce fait... et je n'en trouve pas. Bien sûr, il y a partout cet argument bien connu, comme quoi on a estimé $2$ paramètres, ce qui réduit le nombre de ddl à $n-2$, etc. Mais ce n'est pas une démonstration.

Ce que je connais de la loi du $\chi^2$ ne m'aide pas ; un $\chi^2$ à $n-2$ ddl est basiquement la somme des carrés de $n-2$ loi normales $\mathcal{N}(0,1)$, indépendantes.

Mais les $\hat{\varepsilon}_i$ suivent des lois $\mathcal{N}(0,\sigma^2 \left( 1-\frac{1}{n} - \frac{(x_i-\bar{x})^2}{\sum{(x_k-\bar{x})^2}} \right)$ et $Cov(\hat{\varepsilon}_i, \hat{\varepsilon}_j)=- \sigma^2 \left( \frac{1}{n} + \frac{(x_i-\bar{x})(x_j-\bar{x})}{\sum{(x_k-\bar{x})^2}} \right) \neq 0$.

Quelqu'un, un jour, dans un bouquin de stats, a bien dû procéder à une démonstration explicite aboutissant à un ${\chi^2}_{n-2}$. J'ai essayé, j'ai cherché, mais je ne sais pas ce qu'il faut faire ; pourriez-vous m'orienter SVP ?