Estimateur de Bayes

sevaus
sevaus
dans Statistiques
Bonjour,

On a pour données $X_1, \dots, X_n$ iid de loi commune $\mathcal{B}(\theta)$ où $\theta \in [0, 1]$.
On prend pour loi a priori la loi uniforme sur $[0, 1]$ et on cherche l'estimateur de Bayes associé à la perte quadratique.

Je trouve que la densité de la loi a posteriori (celle de $\theta$ sachant les observations $X_1, \dots, X_n$) est proportionnelle à $\left(\frac{\theta}{1 - \theta}\right)^{\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} X_i} (1 - \theta)^n 1_{[0, 1]}(\theta)$ mais je ne reconnais pas cette loi et je n'arrive pas à calculer la constante de normalisation, nécessaire pour calculer l'estimateur de Bayes qui est l'espérance de cette loi.

J'ai essayé plusieurs changement de variables sans succès.
Comment faire?

Réponses

  • P.
    P.
    Je suppose que $\mathcal{B}(\theta)$ est la loi de Bernoulli de moyenne $\theta\in\, ]0,1[.$ Si $k=X_1+\cdots+X_n$ tu te demandes si la densité $C\theta^k(1-\theta)^{n-k}$ est connue. Réponse, oui,elle fait partie des lois beta définies pour $a,b>0$ par la densité sur $]0,1[$ suivante $$\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\theta^{a-1}(1-\theta)^{b-1}.$$ Dans ton cas $a=k+1,\ $ $\Gamma(a)=k!,\ $ $b=n-k+1,\ $ $\Gamma(b)=(n-k)!,\ $ $a+b=n+2,\ $ $\Gamma(a+ b)=(n+1)!$.
  • jma
    jma
    Bonjour,
    Il y a une erreur dans le calcul de la loi à posteriori. Je te propose de calculer la densité conjointe au point x puis de calculer par la formule de Bayes la loi a posteriori (avec un numérateur et un dénominateur multiplié par 1 car tu as choisi une loi uniforme). Tu vas trouver l'expression d'une loi beta.
    Si, tu as des problèmes jusque là, on verra plus en détail comment faire (j'utiliserai latex).
    Puis, on calcule l'espérance...
    À bientôt.
    Ajout : je n'avais pas vu le message de P.
  • sevaus
    sevaus
    Merci P., je trouve finalement $\dfrac{ \sum_{i = 1}^n X_i + 1}{n + 2}$ pour l'estimateur de Bayes.

    @jma: la densité de la loi jointe de $(X_1, \ldots, X_n, \theta)$ est $$\displaystyle \prod_{i = 1}^{n} \theta^{x_i} (1 - \theta)^{1 - x_i} = \theta^{ \textstyle \sum_{i = 1}^n x_i} (1 - \theta)^{\textstyle n - \sum_{i = 1}^n x_i}
    $$ et la loi a priori a donc une densité proportionnelle à celle-ci non ?
  • jma
    jma
    Super !
    Bon dimanche.
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