Puissance du test avec variance inconnue
dans Statistiques
Pour faire un test d’hypothèse sur la moyenne de population avec la variance connue (r), on utilise la grandeur (X-u0) / (r/Vn) qui est distribuée normale réduite (u0 = hypothèse nulle).
Pour calculer l’erreur de type 2 (et la puissance du test), on utilise (X-u1) / (r/Vn) (u1 = alternative) qui est aussi normale réduite.
Dans le cas où la variance est inconnue, on utilise alors (X-u0]) / (s/Vn) comme grandeur qui suit la distribution t-Student (s = écart-type de l’échantillon).
Pour calculer l’erreur de type 2 (et la puissance du test), par contre, on ne peut plus utiliser (X-u0) / (s/Vn) car ce n’est valable que pour u = u0, ce qui n’est plus le cas ici (on considère que u1 est vrai). Il faut utiliser la distribution t-Student centrale (avec le paramètre central).
Ma question est : pourquoi ne pas utiliser (X-u1) / (s/Vn) (donc en remplaçant u0 par u1 comme on le fait dans le cas où la variance est connue (voir plus haut) au lieu de cette distribution centrale compliquée ? Ou alors pourquoi ne faut-il pas, dans le cas de variance connue, aussi utiliser une distribution normale réduite centrale ?
Merci.
Pour calculer l’erreur de type 2 (et la puissance du test), on utilise (X-u1) / (r/Vn) (u1 = alternative) qui est aussi normale réduite.
Dans le cas où la variance est inconnue, on utilise alors (X-u0]) / (s/Vn) comme grandeur qui suit la distribution t-Student (s = écart-type de l’échantillon).
Pour calculer l’erreur de type 2 (et la puissance du test), par contre, on ne peut plus utiliser (X-u0) / (s/Vn) car ce n’est valable que pour u = u0, ce qui n’est plus le cas ici (on considère que u1 est vrai). Il faut utiliser la distribution t-Student centrale (avec le paramètre central).
Ma question est : pourquoi ne pas utiliser (X-u1) / (s/Vn) (donc en remplaçant u0 par u1 comme on le fait dans le cas où la variance est connue (voir plus haut) au lieu de cette distribution centrale compliquée ? Ou alors pourquoi ne faut-il pas, dans le cas de variance connue, aussi utiliser une distribution normale réduite centrale ?
Merci.
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Réponses
Sous l'hypothèse nulle $H_0\colon\{\mu=\mu_0\}$, on sait que la statistique $Z = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma\sqrt{n}}$ suit la loi normale centrée réduite. On rejette $H_0$ lorsque $|z^{\text{obs}}| > c$ (je note $z^{\text{obs}}$ la valeur observée de la variable aléatoire $Z$), où $c$ est la valeur critique, choisie de telle sorte que $\Pr\bigl(|Z| > c\bigr) = \alpha$ sous l'hypothèse $H_0$ (qui est une hypothèse sur $\Pr$). La puissance du test est la probabilité de rejeter $H_0$. C'est $\Pr\bigl(|Z| > c\bigr)$, où $\Pr$ dépend de $\mu$ (la puissance est une fonction de $\mu$). Le $Z$ est toujours la même statistique, on ne change pas $Z$ car cela changerait la région de rejet.
Cordialement.
Le post de Saturne est un classique de la théorie des tests appliquée à un test d'égalité de la moyenne avec une valeur donnée. Bien entendu pour une variable gaussienne de variance $\sigma^2$ connue. Il n'est pas incompréhensible, mais ne semble pas répondre à la question initiale (test de Student, calcul de l'erreur de seconde espèce pour une valeur donnée).
Comme je ne suis pas un spécialiste des tests de Student, je n'étais pas intervenu.
Cordialement
Cordialement.
Ajout : pour la puissance seulement "rejeter H0" ne me suffit pas. Par contre, rejeter H0 lorsqu'elle est fausse donc, avec la statistique, sous H1. J'ai l'impression de comprendre mieux mais c'est personnel.
"Sous $H_1$" ça veut dire "lorsque $\mu \neq \mu_0$. Donc pour toi la puissance serait cette application mais définie seulement sur $\mathbb{R} \setminus \{\mu_0\}$. C'est vraiment un détail.
Cordialement.
Ajout : merci pour ce petit cours sur les tests, j'en avais besoin. Tu as une drôle de façon de présenter la puissance et je ne rajouterai rien sur cette dernière car elle demande plus que elle dépend de $ \mu $ (plutôt $ \varDelta= \mu-\mu_{0} $). Je conseille plutôt la lecture du "chapitre 3. Les tests d'hypothèses" de Falissard dans son abrégé sur les statistiques.
"La puissance dépend de $\mu - \mu_0$" ce n'est pas plus que "la puissance dépend de $\mu$". Par contre, plus intéressant à dire, c'est une fonction croissante de $|\mu - \mu_0|$ (si le test n'est pas biaisé).
Mais qu'est-ce qui est donc si incompréhensible dans mon post si tu connais tout ? Enfin, si c'est pour m'agresser ou faire du sarcasme, inutile de répondre.
Cordialement.
Et toi d'ailleurs qu'as-tu fait pour essayer d'aider l'OP ? Allez, retourne à ton abrégé de statistiques, moi je te laisse, j'ai mieux à faire.
Je crois que je t'en ai donné au moins deux erreurs (ta formulation de la puissance et ton oubli de la différence avec $ \mu_{0} $). Tu n'as d'ailleurs pas répondu à ma question.Ton passage sur $ \mathbb{R\setminus\left\{ \mathrm{\mu_{0}}\right\} }$ montre que tu es à côté du sujet . Tu as l'air un tout petit sur les nerfs mais parfois lire sur un sujet en français et chez éditeur pas forcément prestigieux n'est pas mal. Pour l'OP, j"'ai vu ce qui ne collait pas dans les réponses et, d'ailleurs, il est déjà bien loin.
Cordialement
Ajout sarcastique : sauras-tu retrouver parmi les six occurrences du mot "power", celui qui n'a pas eu de coup de stabylo jaune fluo (un indice : la définition) ?