Parité et mauvaise répartition ?

Problème 1 :
@lucas : il me semble en effet que c'est 1/2. J'ai une approche de ce 1/2 avec une simulation sous Excel.
Quand à "tout bêtement" cela me semble peu mathématique comme démonstration... Si on prend le problème par le bon bout, cela me semble facilement démontrable (reste à faire de façon évidente , simple et indiscutable, pour montrer que c'est indépendant de la répartition initiale). Si on prend le problème par le mauvais bout, c'est insolvable.
Ça me rappelle la polémique du jeu avec les 3 portes : j'en choisis une , on me montre une autre porte incorrecte. Faut-il changer de porte ... La réponse est évidente (ou non selon certains). La démonstration claire et précise et irréfutable : un peu plus difficile. La simulation suos calculateur est facile. Une indication "par la limite" aide beaucoup (milles portes).
Il y a toujours des cailloux dans les choses'sures ...
@lourran : il n'y a qu'une seule urne, contenant r boules rouges et n noires, ordonnées de 1 à r+n, de façon aléatoire indépendamment de la couleur, pouvant s'imager à un classement supposé homogéne d'une classe d'élèves?

Intérêt du problème : cela correspond au cas "Arkema" qui a fait beaucoup couler d'encre, avec livre.
Ils on appliqué le problème 1 sur leur haut staff de polytechnicien, et ont obtenu une probabilité finale de femme dans les plus haut postes très inférieure à 1/2 après application de la parité (avec un nombre de mesures très faibles non représentatif bien sûr). Sans démonstration sur cette probabilité 1/2, et sans justification de la non représentativité des mesures, il y a eu des discours sociologiques très bien pensant qui remplissent des livres. J'aurai au moins aimé avoir une preuve indubitable (et très simple à mon avis), que la parité appliquée à la présélection permet d'éliminer la disparité initiale. Ce qui est contraire à un postulat intuitif "sheet-in sheet-out" : si on a une mauvaise répartition, il est difficile de la corriger... D'où le problème 1 générique.

Quid du problème 2 et du problème 3 ?

Vérification par algorithme sur 100000 tirages aléatoire :

nb candidat retenu par couleur t=2

en tirant 2*t boules au hasard (indépendamment de leur couleur)
La probabilité d'avoir le premier : p=2*t/(r+n)=0,04
en tirant t boules rouges et t boules noires
La probabilité d'avoir une boule noire en tête p1 = 0,5 (indépendant de la mauvaise répartition)


nombre de boules rouges : r=80
nombre de boules noires : n=20
p1=0,50157
p2=0,03906

nombre de boules rouges : r=40
nombre de boules noires : n=60
p1=0,50324
p2=0,03989

Code en python.

import random
import operator

class boule:
    def __init__(self, couleur):
        self.note = random.random()
        self.tirage = random.random()
        self.couleur = couleur

class urnes:
    def __init__(self, nbNoir, nbRouge):
        self.boules = []
        for i in range(nbNoir):
            self.boules.append(boule("n"))
        for i in range(nbRouge):
            self.boules.append(boule("r"))
        self.boules.sort(key=operator.attrgetter('note'))
        rang = 0
        for b in self.boules:
            b.rang = rang
            rang = rang + 1
        self.boules.sort(key=operator.attrgetter('couleur', 'tirage'))

nbNoir = 40
nbRouge = 60
nbSelectionne = 2
nbNoirPremier = 0
nbPremierSelectionne = 0
nbTirage = 100000
for tirage in range(nbTirage):
    murnes = urnes(nbNoir, nbRouge)
    ## print("=====")
    meilleur = 10000
    noirMeilleur = 0
    for c in ["n", "r"]:
        nrSelection = 0
        for b in murnes.boules:
            if c == b.couleur:
                if nrSelection < nbSelectionne:
                    # print(b.couleur, b.rang)
                    if b.rang == 0:
                        nbPremierSelectionne = nbPremierSelectionne + 1
                    if b.rang < meilleur:
                        if c == "n" :
                            noirMeilleur = 1
                        else :
                            noirMeilleur = 0
                        meilleur = b.rang
                nrSelection = nrSelection + 1
    nbNoirPremier = nbNoirPremier + noirMeilleur
print("nbNoirPremier", nbNoirPremier)
print("nbPremierSelectionne", nbPremierSelectionne)

lourrran écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?13,1859772,1863410#msg-1863410
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]

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Le problème 1 est simple, c'est vrai, mais me surprend par sa simplicité ... Je pense que la démonstration est à peu près juste.
Si vous considérez que mon application avec les polytechniciens est fausse, pourriez-vous reformuler ?
Je reformule.
J'ai 6 femmes et 14 hommes polytechniciens disponibles. Ils ont un classement du meilleur au moins bon de 1 à 20.
J'en sélectionne 4 au hasard : 2 polytechniciennes et 2 polytechniciens pour avoir une parité.
Quelle est la probabilité pour que le classement du meilleur des 4 soi une femme ?

Euh non...
Je suppose que le classement du meilleur au dernier n'est pas dépendant de H/F, car l'intelligence est indépendante de H/F, contrairement à la taille. Cest donc le deuxième cas que vous citez.

Ceci est un autre débat.
Je voulais comprendre si une parité forcée était ou non efficace, basé une mauvaise répartition numéraire, avec une répartition homogène de compétence. (cas "Arkema" très médiatisé situé plus haut)
Sous réserve de ces conditions, je me suis auto-répondu avec une petite démonstration qui me semble juste (à ma sauce), qui allait à l'encontre de mon intuition immédiate. J'ai "vérifié" avec une simulation à l'ordinateur. Je n'ai pas eu de commentaires pour savoir si mes calculs et démonstrations étaient justes (dommage pour un forum de mathématiques..)
Si on considère que la répartition n'est pas homogène pour les compétences (pour la notation des boules rouges et noires indépendamment de leur couleur) : cela remet bien sûr tout en cause (le calcul, mais aussi les actions de parité, et tous les débats sociaux).
Le débat sur la répartition homogène des compétences H/F est un peu hors-sujet sur un ce fil. Pourquoi plus de H en filiaires techniques (ce qu'on essaie de rectifier avec des lois, et de la parité obligée, ..). Pourquoi plus de F en médecine, droit, éducation (sujet ignoré). Tout un débat à discuter sur des forums sociaux.

On affecte un nombre réel aléatoire à chacune des r boules rouges et n noires. Chaque tirage de nombre réel est indépendant des autres, et génère une nombre réel toujours différent (la probabilité d'avoir deux nombre réels égaux est considérée négligeable).
Donc, quel que soit la façon de tirer des boules noires et rouges, on aura un sous-ensemble de boules noires et rouges avec un nombre réel aléatoire indépendant les uns des autres, avec une probabilité identique pour chaque tirage de tomber sur le premier de l'urne.
La parité forcée efface donc toute disparité numéraire initiale...

La simulation s'approche raisonnablement du résultat théorique de 0,5 (autant de chance qu'une boule noire ou rouge soit première du tirage à parité forcée), et 0,04 (autant de chance que le premier soit dans le tirage à parité forcée)