Estimation de la statistique : $ S $
Bonjour à tous
J'aimerais que vous m'aidiez à résoudre l'exercice suivant.
On prélève $ 25 $ pièces dans une production industrielle.
Une étude préalable a montré que le diamètre de ces pièces suivait une loi gaussienne de moyenne $ 10 \mathrm{mm} $ et d'écart-type $ 2 \mathrm{mm} $.
Entre quelles valeurs a-t-on $ 85 \%$ de chances de trouver l'écart-type de ces pièces ?
Voici ce que j'ai fait.
Soit $ X $ une variable aléatoire qui représente le diamètre des pièces de l'échantillon.
On a : $ X \sim \mathcal{N} ( 10 , 2 ) $.
Soit $ ( X_1 , \dots , X_{25} ) $ un $ 25 $-échantillon représentant les diamètres des $ 25 $ pièces tirées.
On cherche alors à estimer (par intervalle) la valeur de la statistique relative à l'échantillon qui est l'écart-type $ S $.
On cherche donc à déterminer $ a $ et $ b $ dans $ \mathbb{R} $ telle que $ \mathbb{P} ( a < S < b ) = 0,85 $.
Comment procéder alors pour ce problème ?
Merci d'avance.
J'aimerais que vous m'aidiez à résoudre l'exercice suivant.
On prélève $ 25 $ pièces dans une production industrielle.
Une étude préalable a montré que le diamètre de ces pièces suivait une loi gaussienne de moyenne $ 10 \mathrm{mm} $ et d'écart-type $ 2 \mathrm{mm} $.
Entre quelles valeurs a-t-on $ 85 \%$ de chances de trouver l'écart-type de ces pièces ?
Voici ce que j'ai fait.
Soit $ X $ une variable aléatoire qui représente le diamètre des pièces de l'échantillon.
On a : $ X \sim \mathcal{N} ( 10 , 2 ) $.
Soit $ ( X_1 , \dots , X_{25} ) $ un $ 25 $-échantillon représentant les diamètres des $ 25 $ pièces tirées.
On cherche alors à estimer (par intervalle) la valeur de la statistique relative à l'échantillon qui est l'écart-type $ S $.
On cherche donc à déterminer $ a $ et $ b $ dans $ \mathbb{R} $ telle que $ \mathbb{P} ( a < S < b ) = 0,85 $.
Comment procéder alors pour ce problème ?
Merci d'avance.
Réponses
-
Je pense utiliser la fonction de répartition.
Cordialement.
Ajout : en fait, tu n'as rien fait à part énoncer le problème. Il faudra bien trouver la loi qui correspond à ton estimateur ou d'une autre quantité qui lui est liée. -
Bonjour.
Cet exercice est un exercice d'application d'un cours sur l'estimation (paragraphe loi de l'écart type d'un échantillon gaussien). Donc tu apprends ton cours, puis tu appliques.
De la façon dont tu as posé le problème, il y a une infinité de réponses possibles.
Ton exercice avec son corrigé se trouve dans un livre de statistiques très connu, écrit par Gilbert Saporta à la page 282. Si tu l'as pris dans ce livre, tu n'as pas besoin de nous; si c'est un prof qui l'a proposé, il n'est pas très sérieux !! -
Est ce que le livre de Gilbert Saporta est disponible sur le net ? Je le trouve pas moi sur le net. Quel est son intitulé ?
-
Non, il n'est pas sur le net.
Et la correction qu'il écrit suit exactement le schéma de travail que je t'ai conseillé. Apprends le cours .. -
J'ai appris le cours Gérard, mais malgré ça, j'ai du mal à démarrer. 8-)
-
Alors, quelle est la loi de la statistique S (pour le cas où on a un échantillon de variables iid gaussiennes) ?
-
D'après mon cours, $ S $ est définie par la loi $ \dfrac{nS^{2}}{ \sigma^{2} } \sim \chi_{n-1}^2 $. Non ?
Donc, il faut chercher $ a,b \in \mathbb{R} $ tels que : $ \mathbb{P} ( a < \dfrac{nS^{2}}{ \sigma^{2} } < b ) = 0,85 $. Non ?
Comment chercher à partir de la table de Khi - deux, les valeurs $ a $ et $ b $ ?
Merci d'avance. -
C'est ce que je disais, il y a une infinité de valeurs. Saporta choisit un intervalle centré (même probabilité avant a et après b). Comme ce n'est pas obligatoire, il faut préciser dans la rédaction quel choix on fait; on aurait pu, par exemple, prendre un intervalle [0,b] puisqu'on a une variable positive.
Bon travail ! -
Trouver analytiquement en fonction de a et b cet intervalle.
Cordialement. -
Heu, moi y'en a pas comprendre le point de jma :
- il y a une infinité d'intervalle de confiance
- il n'y a pas de formule analytique de la fonction de répartition d'une loi du Chi^2
- si on a a et b alors l'intervalle est tout trouvé ^^. -
Vérifie au moins si la loi du chi-2 n'a pas de fonction de répartition^^ après la suite...cela ne signifie pas qu'il n'y ait pas une infinité...etc
Bon courage.
Ajout : en FONCTION de a et b (a et b sont donnés si tu veux et il ne faut pas aller les chercher à la fin du livre dans les abaques). -
Alors, comme proposé par Gérard, on cherche donc, $ b \in \mathbb{R}_{+}^* $ tel que : $ \mathbb{P} ( 0 < \dfrac{nS^{2}}{ \sigma^{2} } < b ) = 0,85 $.
Or, : $ \mathbb{P} ( 0 < \dfrac{nS^{2}}{ \sigma^{2} } < b ) = \mathbb{P} ( \dfrac{nS^{2}}{ \sigma^{2} } < b ) - \mathbb{P} ( \dfrac{nS^{2}}{ \sigma^{2} } < 0 ) $.
On a : $ \dfrac{nS^{2}}{ \sigma^{2} } \sim \chi_{25 - 1 }^2 = \chi_{24}^2 $, alors on cherche dans la table de $ \chi_{24}^2 $ la valeurs de $ b $ tel que : $ \mathbb{P} ( \dfrac{nS^{2}}{ \sigma^{2} } < b ) = 0,85 + \mathbb{P} ( \dfrac{nS^{2}}{ \sigma^{2} } < 0 ) $
Comment alors d'abord, trouver la valeur de $ \mathbb{P} ( \dfrac{nS^{2}}{ \sigma^{2} } < 0 ) $ dans une table de Khi - deux ?
Merci d'avance. -
Bonsoir,
@Pablo_de_retour
Je crois qu'il faut voir avec ton professeur ce qu'il attend de toi parce que je pense que cela traine un peu en longueur (tu cherches la probabilité d'un quantité positive négative). J'espère que ce n'est pas une copie à rendre...
Bon courage à toi. -
Pablo,
comme d'habitude, tu te perds sur des détails quasi évidents, parce que tu ne penses pas à ce que tu fais. Quand même !! Chercher la proba qu'une variable aléatoire positive soit strictement négative, faut le faire ! Tu ne trouverais pas la couleur du cheval blanc d'Henri IV !!
Et il a fallu qu'on te dise de relire ton cours pour que tu t'attaques au problème ? A quoi joues-tu ? Au plus con ? A celui qui fait le plus faire son travail par les autres ?
Tu as tout ce qu'il te faut pour finir, bosse !! -
Gerard
Mon cours ne précise pas du tout comment on fait la lecture de la table de la loi Khi - deux. Peux-tu me montrer comment ? -
Utilise un tableur, c'est plus précis.
Et si tu dois utiliser une table du khi-deux, regarde ce qu'elle dit, ça suffit à comprendre comment l'utiliser (*). Il y a différents modèles.
(*) si tu as une table du khi-deux qui ne dit rien de ce qui est dedans, ce n'est pas une table, juste un papier à mettre à la poubelle. -
Je me suis amusé à coder, en julia, le calcul de l'intervalle de confiance
que l'on peut vérifier par simulation.
Plusieurs intervalle de confiance ont une "justification" supplémentaire :
- l'intervalle de plus petite longeur est [0.792,1.197]
- l'intervalle symmétrique (au sens de la masse de proba) est [0.784,1.189] (quasiment le même que le précédent mais pas tout à fait)
- un intervalle naturel est de vouloir l'écart-type empirique pas trop élevé, et donc de choisir [0, 1.136]
Pour une procédure de test il faut en choisir un avant d'observer les données, puis s'y tenir.
Edit : pour une raison étrange je ne peux pas copier mon code dans le message... -
Étrange aussi : Saporta trouve comme intervalle centré [1,49;2,51]. Pour S.
Cordialement. -
J'ai peut-être une erreur dans mes calculs, déjà j'avais choisit $\sigma = 1$ par simplification, mais l'IC est linéaire en $\sigma$, donc il reste une différence que je n'explique pas.
Edit : bon, après nouvelles simulation je ne retrouve pas les valeurs de Saporta, donc soit il s'agit d'une typo, soit je n'ai pas compris comment il définit S. -
Bonjour,
Grace au cours de statistique de première année de l'ENSIMAG inséré par @vorobichek ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1873964 , page, $ 122 $, il y'a la table Khi - deux étalée uniquement sur une page. Cool.
Et pour calculer la valeur de $ \mathbb{P} ( \dfrac{ n S^2 }{ \sigma^{2} } > 0 ) $ en utilisant cette table, on a du mal à trouver le chiffre $ 0 $ dans cette liste de chiffres. Est ce que cela voudrait dire que @gerard0 a tort de me proposer un intervalle de la forme $ [0,b] $ ?
Merci d'avance. -
Encore une fois, Pablo, tu parles sans réfléchir ... A ce niveau d'incompétence, que peut-on faire ?
Les lois du $\chi^2$ sont les lois d'une variable aléatoire continue positive. N'importe quel débutant sur le sujet regarde son cours, réfléchit 3 secondes, et sait que si X suit une loi du $\chi^2$, alors $P(X\le 0)=0$ et $P(X>0)=1$
Je ne sais pas ce que tu étudies, mais tu continues à agir sans intelligence !! A écrire sans penser, à poser bêtement des questions évidentes (ce que tu fais depuis plus de 10 ans !!), ...
En agissant intelligemment, tu aurais fini cet exercice avant d'avoir besoin de demander. -
D’accord.
Donc : $ \mathbb{P} ( \dfrac{nS^{2}}{ \sigma^{2} } < b ) = 0,85 + \mathbb{P} (
\dfrac{nS^{2}}{ \sigma^{2} } < 0 ) \ \ \Longrightarrow \ \ 1 - \mathbb{P} ( \dfrac{nS^{2}}{ \sigma^{2} } > b ) = 0,85 + 1 - \mathbb{P} ( \dfrac{nS^{2}}{ \sigma^{2} } > 0 ) $
$ \Longrightarrow \ \ \mathbb{P} ( \dfrac{nS^{2}}{ \sigma^{2} } > 0 ) = 0,85 + \mathbb{P} ( \dfrac{nS^{2}}{ \sigma^{2} } > b ) $
$ \Longrightarrow \ \ \mathbb{P} ( \dfrac{nS^{2}}{ \sigma^{2} } > b ) = 0,15 $
Non ? -
Mais il n'y a pas de risque égal à $ \alpha = 0,15 $ dans la table Khi - deux. Il n'y a que : $ \alpha = 0,1 $ ou $ \alpha = 0,2 $. Il n'y a pas d'autres $ \alpha $ entre $ 0,1 $ et $ 0,2 $. Comment remédier à ça ?
-
Que de lignes de calcul pour si peu, pour dire que s'il y a 85% de probabilité dans l'intervalle, il en reste 15% après, puisqu'il n'y a rien avant !
"Comment remédier à ça ?" Pourquoi crois-tu que je t'ai conseillé un tableur ? Si tu tiens absolument à utiliser ta table, tu peux procéder par interpolation linéaire, à partir des valeurs pour 10 et 20 %. -
Je ne sais pas utiliser un tableur gerard. Un tableur c'est Excel. Non ? Je ne sais pas utiliser Excel à des fins statistiques.
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Il y a des tableurs gratuits (Open Office, Libre Office) et on apprend vite à les utiliser.
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ça ne marche pas sur Excel ? Parce que sur mon ordinateur, je n'ai pas Open office. J'ai seulement Microsoft Office. Et je ne peux pas télécharger Open Office sur mon ordinateur. Parce que, la mémoire de mon ordinateur est remplie à plein.
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Bonsoir,
1) Ça n'a rien à voir avec la mémoire de ton ordinateur, mais avec celle de ton disque dur.
2) Tu peux toujours faire de la place en transférant des fichiers sur une clé USB ou un disque dur externe.
3) N'importe quel tableur fait l'affaire, que ce soit Excell ou Open Office ....., à toi d'apprendre à t'en servir.
Cordialement,
Rescassol -
Allez hop, il faut faire le pas :-) en trouvant de la documentation sur Excel. (peut-être "un tuto youtube sur les internet"). Si, tu fais une erreur, ton ordinateur implosera : c'est tout.
Cordialement. -
Un petit coup de pouce https://support.office.com/fr-fr/article/Fonctions-statistiques-référence-624dac86-a375-4435-bc25-76d659719ffd
Cordialement. -
@jma :
Je préfère Excel à Open Office. :-) -
Pour ce qu'il y a à faire, Excel convient bien (moi, je ne vois pas de raison de payer, donc pour moi, c'est un gratuit). Et un collégien peut facilement utiliser un tableur.
Tout ça, c'est du baratin dilatoire. Ce qui compte, c'est que Pablo finisse lui-même son exercice. Il cherche toujours à ce que quelqu'un fasse son travail à sa place, et si personne ne le fait, il y arrive facilement. Comment on appelle ça, au fait ??? -
Peux tu me décrire brièvement comment on utilise la table de Khi - deux sur Excel Gérard ?
Merci d'avance. -
Bonjour,
Cherche sur le site dont j'ai mis le lien les fonctions qui sont susceptibles de t'aider (liées au chi-2) et essaye de comprendre ce qu''elles font. Qu' elles sont-elles ? Peux-tu nous décrire celle qui te semble résoudre ton problème avec les moyens de la faire fonctionner et avec ,si possible, un exemple de confirmation ?
Cordialement.
p. s. Je me permets Gerard0. -
Pas de problème, Jma. Pablo aurait dû y penser !
-
jma a écrit:Peux-tu nous décrire celle qui te semble résoudre ton problème avec les moyens de la faire fonctionner et avec ,si possible, un exemple de confirmation ?
D'après : https://support.office.com/fr-fr/article/loi-khideux-inverse-droite-loi-khideux-inverse-droite-fonction-435b5ed8-98d5-4da6-823f-293e2cbc94fe , on utilise la fonction : $ \mathrm{LOI.KHIDEUX.INVERSE.DROITE}( A_1 , A_2 ) $ , avec : $ A_1 = 0,15 $ ( probabilité ), et $ A_2 = 24 $ ( degré de liberté de la loi Khi - deux ). Non ?
Mais, comment l'utiliser sur Excel ?
Voila. J'ai ouvert la fenêtre du tableur de Excel. Mais, je ne sais pas utiliser les fonctions sur ce Excel. Parce que j'utilise rarement Excel dans la vie de tous les jours. Je savais comment un certain temps, mais maintenant, j'ai tout oublié.
Merci pour votre aide.
N.B. : J'utilise Microsoft Excel 2007, pour que vous soyez au courant. -
J'ai mis les chiffres : $ 0,15 $ dans la cellule A1, et $ 24 $ dans la cellule A2, j'ai tapé : $ \mathrm{LOI.KHIDEUX.INVERSE.DROITE} (A1;A2) $ dans la barre horizontale $ f_x $. Mais je ne sais pas quoi faire après pour obtenir le résultat. Qu'est ce qu'on fait après ?
-
J'ai une bonne et une mauvais nouvelle :
Super pour ta recherche ! Dans un tableur, les valeurs sont dans les cellules nommées, par exemple, A1,A2, B1,B2,B3,... La fonction que tu vas appeler va "demander" dans quelles cellules les valeurs/arguments,dont elle a besoin, sont. Ce n'est pas très clair, prends un petit exemple sur le web. On appelle une fonction en cliquant sur le bouton Excel fx.
La mauvaise nouvelle est que la fonction que tu as déterminée est utilisable à partir de Excel 2010. Peux-tu vérifier ?
Si, je peux me permettre : tu sembles un tout petit peu inhibé et à chaque étape, c'est un peu le vide. Tu peux faire du Tai-Chi-Chuan ;-) pour réveiller l'envie de se "démer.." pour passer l'étape suivante...
On trouvera bien une solution. Tu peux me joindre en MP.
Cordialement.
Ajout : désolé, je n'ai vraiment pas bien lu ton message. Si tu fais ="lafonction"(0.15,24) puis "enter", le résultat devrait s'afficher dans la cellule. -
@jma :
Je viens de saisir l'astuce :
Voici les étapes à suivre :
- Toutes mes cellules sont vide au début.
- Dans la barre d'outils, je clique sur l'onglet : Formules, ensuite, sur l'onglet : Insérer une fonction.
- Un tableau s'affiche à moi et me demande de sélectionner une catégorie dans une liste à dérouler ( La catégorie ou se trouve la fonction Khi-deux est : Statistique ).
- Je sélectionne ensuite fonction : KHIDEUX.INVERSE dans cette liste.
- Puis un tableau s'affiche et me demande d'entrer les paramètres d'évaluation : ( probabilité , degré de librté ).
- J'entre les valeurs des paramètres, puis je clique sur OK.
- J'obtiens comme résultat, la valeur : $ 31,13245967 $.
C'est facile. ;-)
@jma : Celui qui m'a rendu inhibé est le fait que je me sens un peu froissé par le ton véhément de Gerard que je ne lui pardonne plus. -
Cela t'intéresserait si j'écris quelques lignes pour savoir comment utiliser quelques abaques pour différentes lois ces jours-ci (cela a au moins une vertu historique mais, parfois, tu n'as pas accès à un logiciel) ?
Cordialement. -
Oui, bien sûr.
-
-
Cherche sur Internet, c'est une technique de niveau collège/lycée.
-
Oui, j'ai vu cette notion ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Interpolation_linéaire .
Néanmoins, comment appliquer l'interpolation linéaire à la table Khi - deux, pour notre cas qui est de trouver $ b $ tel que : $ \mathbb{P} ( \dfrac{n S^{2} }{ \sigma^{2} } > b ) = 0,15 $ ?.
Merci d'avance. -
Tu lis la méthode sur Wikipédia, puis tu appliques. Il faut encore te tenir la main quand tu dois traverser la rue ??
Tu as eu tous les éléments, maintenant, utilise ton cerveau. -
A partir de la table Khi - deux :
- Je cherche $ b_1 $ tel que : $ \mathbb{P} ( \dfrac{ n S^{2} }{ \sigma^2 } > b_1 ) = 0,2 $.
- Je cherche $ b_2 $ tel que : $ \mathbb{P} ( \dfrac{ n S^{2} }{ \sigma^2 } > b_2 ) = 0,1 $.
Et donc, la valeur de $ b $ telle que : $ \mathbb{P} ( \dfrac{ n S^{2} }{ \sigma^2 } > b ) = 0,15 $ est : $ b = \dfrac{b_{1} + b_{2}}{2} $. Non ? -
Bonjour,
Oui, c'est ça. Comme tu l'as compris, je pense : tu traces une segment de droite entre les deux points correspondant à $b_{1}$ et $b_{2}$ et tu approximes le bout de courbe de la loi du $\chi^{2}$ par ce segment. Je ne veux pas te rajouter du travail mais cela serait intéressant de comparer le résultat obtenu avec Excel et celui donné par cette méthode.
Cordialement. -
Oui. Alors, d'après la table de la loi Khi - deux :
$ b_1 = 29,55 $
$ b_2 = 33,20 $
Donc : $ b = \dfrac{b_{1} + b_{2}}{2} = \dfrac{29,55 + 33,20}{2} = 31,375 $
Et nous rappelons que sur Excel, on a obtenu : $ b = 31,13245967 $.
Alors, ce n'est pas la meme chose.
Lequel des deux $ b $ obtenus est alors le plus crédible ? -
Quel est le calcul le plus précis ?
-
@gerard0 :
Oui, c'est ça. Je ne sais pas comment trancher entre ces deux valeurs distinctes de $ b $ ?
Comment savoir, parmi ces deux valeurs distinctes, la valeur la plus proche de la valeur exacte ?
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