Estimateur de maximum de vraisemblance.

Oui, la densité conjointe s'écrit $\lambda^{n} \cdot \exp(-\lambda \cdot \sum x_i)$ quand tous les $x_i>0$.

$\def\L{\mathcal{L}}$
À échantillon $x_1,\dots,x_n$ fixé, c'est la vraisemblance $\L(\lambda)$.

La log-vraisemblance s'écrit donc $\ell(\lambda) = \ln\big(\L(\lambda)\big) =
n \cdot \ln(\lambda) - s \cdot \lambda$,
où $s = \sum{x_i}$.

On dérive : $\ell'(\lambda) = \frac{n}{\lambda} - s$.

Donc le maximum de vraisemblance est $\lambda = \frac{n}{s}$,
soit : $\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{n} \cdot \sum x_i$ : inverse de l'estimateur de moyenne empirique.

C'est page 4 dans ce sujet : https://aphec.fr/mathematiques/2012/2012_edhec_E_1_suj_ndm_a.pdf

Bonsoir,
Pour avoir une idée plus intuitive de l'estimateur du maximum de vraissemblance (EMV), on peut se dire que c'est l'estimateur qui rend le plus "probable" l'échantillon que tu as observé (ce qui semble pas trop absurde comme idée).
Cordialement.

Ajout : tu devrais, si tu peux, investir ou emprunter un livre de statistique avec des exercices corrigés. Je pense au livre de Michel Lejeune chez Springer mais tu auras sûrement d'autres conseils plus avisés en demandant des références à d'autres personnes.