Variance de la moyenne d'échantillonnage

Quel est le but de ton calcul ?.
Parce que, j'ai l'impression que tu cherches à calculer l'espérance de l'estimateur $ T^2 = \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \big( X_i - \mu \big)^2 $ de $ \sigma^2 $ d'une loi normale par exemple, mais, au lieu de faire ça, tu calcules le carré de l’espérance de $ \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \big( X_i - \mu \big) $ qui n'a aucun sens. Non ?
Où tu as trouvé ce calcul ? Dans quel cours ?

Tu as la réponse en page $ 5 $ du nouveau pdf que tu insères.
Sans tester la formule pour $ n = 2 $ ou $ 3 $, qu'est ce qui te rebute exactement dans cette démonstration ou ce calcul de $ V ( \overline{X} ) $ à la page $ 5 $ ?

D'accord. Pardon.
Alors, pour faire tout court :
$ \overline{X} = \displaystyle \sum_{ i = 1}^{n} \dfrac{X_{i}}{n} $ n'est pas égale à $ m = E \big( \displaystyle \sum_{ i = 1}^{n} \dfrac{X_{i}}{n} \big) $.
$ \overline{X} = \displaystyle \sum_{ i = 1}^{n} \dfrac{X_{i}}{n} $ est juste un estimateur de $ m $, c'est à dire, $ \overline{X} $ est une statistique qui, après tirage aléatoire de l'échantillon, son réalisation $ \overline{x} $ est une estimation du paramètre de $ m $. C'est à dire, $ \overline{x} $ dans la plupart des cas n'est pas égale à $ m $, mais dans certains cas, il peut l’être à probabilité près. Pour mesurer combien il a de chances d’être égale à $ m $. On a recours à une mesure de probabilité $ \mathbb{P} $. C'est à dire, si $ A $ est l'événement, $ A = \{ \overline{x} = m \} $. Alors $ P(A) $ sert à mesurer combien de chances on a pour que $ \overline{x} = m $.
Bref, ce que tu dois retenir est que :
Non pas $ \overline{X} $ qui est égale à $ m $, mais $ E(\overline{X}) = m $.
Donc, $ \dfrac{(X_1 - m ) + (X_2 -m )}{2} = \overline{X} - m \neq 0 $, tout simplement, parce que, ce n'est pas : $ \overline{X} $ qui est égale à $ m $, mais $ E(\overline{X}) = m $.

Pablo a écrit:

$ \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{n} \displaystyle \sum_{ j = 1 }^{n} ( X_i - m )(X_j - m ) = \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{n} ( X_i - m )^2 + \displaystyle \sum_{ 1 \leq i \neq j \leq n} ( X_i - m ) ( X_j - m ) $

Il suffit de voir que :
$ \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{n} \displaystyle \sum_{ j = 1 }^{n} ( X_i - m )(X_j - m ) = \displaystyle \sum_{ 1 \leq i , j \leq n} ( X_i - m ) ( X_j - m ) $
$ = \displaystyle \sum_{ 1 \leq i = j \leq n} ( X_i - m ) ( X_j - m ) + \displaystyle \sum_{ 1 \leq i \neq j \leq n} ( X_i - m ) ( X_j - m ) $
$ = \displaystyle \sum_{ 1 \leq i \leq n} ( X_i - m ) ( X_i - m ) + \displaystyle \sum_{ 1 \leq i \neq j \leq n} ( X_i - m ) ( X_j - m ) $
$ = \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{n} ( X_i - m )^2 + \displaystyle \sum_{ 1 \leq i \neq j \leq n} ( X_i - m ) ( X_j - m ) $

Pablo a écrit:

$ \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{n} ( X_i - m )^2 + \displaystyle \sum_{ 1 \leq i \neq j \leq n} ( X_i - m ) ( X_j - m ) = \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{n} ( X_i - m )^2 + 2 \displaystyle \sum_{ 1 \leq i < j \leq n} ( X_i - m ) ( X_j - m ) $

Il suffit de voir que :
$ \displaystyle \sum_{ 1 \leq i \neq j \leq n} ( X_i - m ) ( X_j - m ) = \displaystyle \sum_{ 1 \leq i < j \leq n} ( X_i - m ) ( X_j - m ) + \displaystyle \sum_{ 1 \leq i > j \leq n} ( X_i - m ) ( X_j - m ) $
$ = \displaystyle \sum_{ 1 \leq i < j \leq n} ( X_i - m ) ( X_j - m ) + \displaystyle \sum_{ 1 \leq i < j \leq n} ( X_i - m ) ( X_j - m ) $
$ = 2 \displaystyle \sum_{ 1 \leq i < j \leq n} ( X_i - m ) ( X_j - m ) $

Pablo a écrit:

$ \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{n} ( X_i - m )^2 + 2 \displaystyle \sum_{ 1 \leq i < j \leq n} ( X_i - m ) ( X_j - m ) = \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{n} ( X_i - m )^2 + 2 \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{n} \displaystyle \sum_{ j = 1 }^{i-1} ( X_i - m ) ( X_j - m ) $

Pardon, on a :
$ \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{n} ( X_i - m )^2 + 2 \displaystyle \sum_{ 1 \leq i < j \leq n} ( X_i - m ) ( X_j - m ) = \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{n} ( X_i - m )^2 + 2 \displaystyle \sum_{ j = 1 }^{n} \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{j-1} ( X_i - m ) ( X_j - m ) $

On a ça, parce que :
$ \displaystyle \sum_{ 1 \leq i < j \leq n} ( X_i - m ) ( X_j - m ) = \displaystyle \sum_{ j = 1 }^{n} \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{j-1} ( X_i - m ) ( X_j - m ) $
Pourquoi ... ? ... Il suffit de voir que : $ \{ (i,j) \ | \ 1 \leq i < j \leq n \} = \bigcup_{ i , j = 1 }^{n} \{ (i,j) \ | \ i < j \} = \bigcup_{i=1}^{j-1} \bigcup_{j=1}^{n} \{ (i,j) \} $. ( Sauf erreur )

Cela implique que : $ \displaystyle \sum_{ 1 \leq i < j \leq n} = \mathrm{card} \big( \{ (i,j) \ | \ 1 \leq i < j \leq n \} \big) = \mathrm{card} \big( \bigcup_{i=1}^{j-1} \bigcup_{j=1}^{n} \{ (i,j) \} \big) = \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{j-1} \displaystyle \sum_{ j = 1 }^{n} $ ( Cette façon d'écrire est un abus de langage, mais c'est juste pour te transmettre l'idée de manière heuristique )

Mon dernier paragraphe de mon dernier message semble être très compliqué. Tu peux l'oublier. J'essayerai une autre explication plus facile que celle là. Attends un peu.
Pardon de t'avoir compliqué les choses.

a écrit:

$ \displaystyle \sum_{ 1 \leq i < j \leq n} = \displaystyle \sum_{ j = 1 }^{n} \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{j-1} $

Faire la somme $ \displaystyle \sum_{ 1 \leq i < j \leq n} $ en faisant varier $ i $ et $ j $ dans $ \{ 1 , \dots , n \} $ tel que $ i < j $ s'identifie à faire la somme $ \displaystyle \sum_{ j = 1 }^{n} \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{j-1} $ en fixant à chaque fois $ j $ dans $ \{ 1 , \dots , n \} $, puis laissant circuler $ i $ allant de $ 1 $ jusqu'à $ j-1 $ puisqu'il faut que $ i < j $.

Voila.