Statistique loi exponentielle
dans Statistiques
Bonjour
Pour la question 1) j'ai trouvé $\hat{\lambda}_{n} = \overline{ X_{n} }$ et pour le test $T = 1_{R}$ avec $R = \{ x \in \mathbb{R}^{n} ; \overline{x}_{n} \le \frac{q_{\alpha}}{100} \}$ avec $q_{\alpha}$ le quantile de la loi $\Gamma(n,n)$.
J'aimerais en discuter avec vous, tout d'abord pour savoir si vous êtes d'accord avec mes résultats.
Exercice a écrit:Soit $X$ une variable aléatoire de fonction de répartition inconnue $F$, et soit $(X_{1},...,X_{n})$ un $n$-échantillon de la loi $X$.
Pour tout $\lambda >0$, on note $F_{\lambda}$ la fonction de répartition définie par $F_{\lambda}(x)= (1-\text{exp}(-\frac{x}{\lambda}))1_{x\ge0}$.
1) On suppose que $F = F_{\lambda}$. Déterminer l'estimateur $ \hat{\lambda}_{n}$ du maximum de vraisemblance de $\lambda$, puis construire un test de $\lambda = 100 $ contre $\lambda \ne 100$ au niveau 5%.
2) On note $F_{n}$ la fonction de répartition empirique de $(X_{1},...,X_{n})$ et on définit : $$
\Delta_{n} = \sup_{t \in \mathbb{R} } | F_{n}(t) - F_{ \hat{ \lambda }_{n}} (t) |
$$ Montrer que la loi de $ \Delta_{n} $ est libre de $\lambda$ lorsque $F\in \mathcal{F} := \{ F_{\lambda}, \lambda >0 \}$. En déduit un test de l'hypothèse $F \in \mathcal{F}$ contre $F\notin \mathcal{F}$.
Tester de deux manière l'hypothèse $F = F_{100}$ au niveau 10%.
Pour la question 1) j'ai trouvé $\hat{\lambda}_{n} = \overline{ X_{n} }$ et pour le test $T = 1_{R}$ avec $R = \{ x \in \mathbb{R}^{n} ; \overline{x}_{n} \le \frac{q_{\alpha}}{100} \}$ avec $q_{\alpha}$ le quantile de la loi $\Gamma(n,n)$.
J'aimerais en discuter avec vous, tout d'abord pour savoir si vous êtes d'accord avec mes résultats.
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Réponses
Sinon, on peut aussi faire un test bilatéral, parce que là, tu es plutôt parti pour tester si $\lambda \le 100$.
Je ne comprend pas, moi j'aurais pris $q_{\text{5%}}$ parce que là votre risque de première espace est $\le $ 95%. Et je pense qu'il vaut mieux qu'il soit $\le $ 5% non ? Parce qu'on veut valoriser $H_{0}$ donc on veut être sur que la proba de se tromper quand on est dans $H_{0}$ est petite.
Après déjà je prétend que mon test marche pour les hypothèse $H_{0} : \lambda = 100$ contre $H_{1} : \lambda \ne 100$. Vous êtes d'accord ?
Puis là non je suis pas d'accord je pense que mon test est bon pour vérifier $H_{0} : \lambda \ge 100$ contre $H_{1} : \lambda < 100$ car
Si $\lambda \ge 100$ alors
$$
P_{\lambda}(\bar{X}_{n} \le 100q_{\alpha}) \le P_{\lambda}(\bar{X}_{n} \le \lambda q_{\alpha}) = \alpha
$$
par continuité de la densité $\Gamma$.
En fait c'est $\frac{\bar{X}_{n}}{100}$ qui suit $\Gamma(n,n)$. Donc je modifie
Pour la question 1) j'ai trouvé $\hat{\lambda}_{n} = \overline{ X_{n} }$ et pour le test $T = 1_{R}$ avec $R = \{ x \in \mathbb{R}^{n} ; \overline{x}_{n} \le 100 q_{\alpha} \}$ avec $q_{\alpha}$ le quantile de la loi $\Gamma(n,n)$.
Or, on écrit $$
\begin{align}
\Delta_{n} & = \sup_{t \in \mathbb{R} } | F_{n}(t) - F_{ \hat{ \lambda }_{n}} (t) | \\
& = \sup_{t \in \mathbb{R} } | F_{n}(\lambda t) - F_{ \hat{ \lambda }_{n}} (\lambda t) |
\end{align}
$$ et dans la dernière expression, tout parle de la loi exponentielle $E(1)$, donc il n'y a plus de $\lambda$.
Ton énoncé a défini $F_{truc}$ il se sert évidemment de cette définition.
Cordialement.
C'est que c'est une variable aléatoire dont la loi ne dépend pas de $\lambda$.
La même chose est vraie pour $t\mapsto F_n(\lambda t) = \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=1}^{n} 1_{X_k \le \lambda t}$.
C'est une variable aléatoire dont la loi de dépend pas de $\lambda$, car
$1_{X_k \le \lambda t} =
1_{X_k / \lambda \le t}$, et $\frac{X_k}{\lambda}$ ne dépend pas en loi de $\lambda$.