Modèles linéaires gaussiens.

Bonjour

Soit $(X_{1},\ldots,X_{n})$ un $n$ échantillon de la loi Gaussienne $N( \mu, \sigma^{2})$.
On suppose $\mu$ et $\sigma^{2}$ inconnues.
Soit $\mu_{0} \in \mathbb{R}$.
Montrer que la rapport de vraisemblances pour le test $\mu = \mu_{0}$ contre $\mu \ne \mu_{0}$ est fonction de $$

1 + \frac{(\bar{X_{n}} - \mu_{0} )^{2}}{\sigma_{n}^{2}},

$$ avec $\sigma_{n}^{2} = \sum_{i=1}^{n} \frac{(X_{i} - \bar{X_{n}})^{2}}{n}.$

J'ai montré que le rapport des maximums est
$$
\exp\left( \frac{n}{2 s_{n}^{2}(X)} (\bar{X_{n}} - \mu_{0} ) \right)
$$
avec $s_{n}^{2}(X) = \sum_{i=1}^n\frac{(X_i-\mu_0)^2}{n}$

Mais je ne vois pas comment faire apparaître $\sigma_{n}^{2}$, savez-vous comment faire ?
Merci pour votre aide.