Série chronologique AR(1)
dans Statistiques
Il s'agit d'un projet en cours de Série Chronologiques (université en Ecosse).
Avec un AR(1) process avec moyenne inconnue $\mu$, défini par :
$Y_t - \mu = \alpha (Y_{t-1} - \mu) + Z_t,$
avec Zt bruit blanc de variance égale à 1 et $-1<\alpha<1$.
Dans le projet on va examiner quelques propriétés de la moyenne $\bar{Y} = \frac{1}{n}(Y_1 + \cdots + Y_n)$ comme estimateur de la moyenne $\mu$.
1. Montrer que $\bar Y$ est un estimateur non biaisé de $\mu$.
2. $Var(\bar{Y}) = \frac{1}{(1-\alpha ^2)n} + \frac{2\alpha }{(1-\alpha )(1-\alpha ^2)n^2}\left[(n-1) - \frac{\alpha (1-\alpha ^{n-1})}{1-\alpha } \right]$
Je pense qu'il faut peut être utiliser des propriétés d'une série chronologique comme la stationnarité pour la première question mais je ne vois pas comment.
Et pour la deuxième je suis plus ou moins complétement bloquée haha.
Pour la deuxième question j'en [suis] au stade de cette expression mais je ne sais pas quoi en faire
(les variables $Y_1$ à $Y_n$ étant dépendantes):
$\frac{1}{n^2}Var(\sum_{i=1}^{n}{Y_i}) = \frac{1}{n^2}\left[\sum_{i=1}^{n}{Var(Y_i}) +2 \sum_{1<i<j<n}{Cov(Y_i,Y_j)}\right]$
J'ai beaucoup de mal surtout à répondre à la deuxième question. Si quelqu'un pouvait me mettre sur la piste.
Je suis dans un cursus double diplôme en Écosse et alors que je suis en troisième année je dois suivre ce cours de quatrième année, j'ai donc l'impression d'avoir quelques lacunes et ça bloque pour les projets. Je cherche une main bienveillante pour me guider pas à pas dans l'exercice.
Merci beaucoup !
Avec un AR(1) process avec moyenne inconnue $\mu$, défini par :
$Y_t - \mu = \alpha (Y_{t-1} - \mu) + Z_t,$
avec Zt bruit blanc de variance égale à 1 et $-1<\alpha<1$.
Dans le projet on va examiner quelques propriétés de la moyenne $\bar{Y} = \frac{1}{n}(Y_1 + \cdots + Y_n)$ comme estimateur de la moyenne $\mu$.
1. Montrer que $\bar Y$ est un estimateur non biaisé de $\mu$.
2. $Var(\bar{Y}) = \frac{1}{(1-\alpha ^2)n} + \frac{2\alpha }{(1-\alpha )(1-\alpha ^2)n^2}\left[(n-1) - \frac{\alpha (1-\alpha ^{n-1})}{1-\alpha } \right]$
Je pense qu'il faut peut être utiliser des propriétés d'une série chronologique comme la stationnarité pour la première question mais je ne vois pas comment.
Et pour la deuxième je suis plus ou moins complétement bloquée haha.
Pour la deuxième question j'en [suis] au stade de cette expression mais je ne sais pas quoi en faire
(les variables $Y_1$ à $Y_n$ étant dépendantes):
$\frac{1}{n^2}Var(\sum_{i=1}^{n}{Y_i}) = \frac{1}{n^2}\left[\sum_{i=1}^{n}{Var(Y_i}) +2 \sum_{1<i<j<n}{Cov(Y_i,Y_j)}\right]$
J'ai beaucoup de mal surtout à répondre à la deuxième question. Si quelqu'un pouvait me mettre sur la piste.
Je suis dans un cursus double diplôme en Écosse et alors que je suis en troisième année je dois suivre ce cours de quatrième année, j'ai donc l'impression d'avoir quelques lacunes et ça bloque pour les projets. Je cherche une main bienveillante pour me guider pas à pas dans l'exercice.
Merci beaucoup !
Réponses
-
N'a-t-on pas tout simplement : $$Y_t = \mu + \alpha^{t} \cdot \underbrace{(Y_0-\mu)}_{=0?} + \alpha^{t-1} \cdot Z_1 + \alpha^{t-2} \cdot Z_2 + \dots + \alpha \cdot Z_{t-1} + Z_t,$$
et après, le reste c'est des calculs de sommes géométriques, je crois ? -
Il semble en effet manquer une définition de $Y_0$ ou au moins de $Y_1$.
A moins que ce soit dans la définition d'un AR(1) que je ne connais pas.
Cordialement. -
Je ne pense pas qu'il faille que j'utilise les suites géométriques pour ça.
C'est pour cela que je cherchais quelqu'un avec des connaissances poussées en séries chonologiques.
Page wikipédia d'un modèle auto-régressif https://en.wikipedia.org/wiki/Autoregressive_model -
Vu la tête de la formule c'est évident qu'il y a une histoire de suite géométrique.
Le mieux c'est d'exprimer $Y_t$ en fonction de $Y_1$ et des $Z_1,\ldots,Z_t.$
On peut démontrer par récurrence si tu veux que $$
Y_t - \mu = C_t + \alpha^{t-1} \sum_{i=1}^{t-1} \frac{Z_t}{\alpha^i},
$$ où $C_t$ est une constante qu'on n'a pas besoin d'expliciter.
Ce qui te permet de choper toutes les covariances. -
Et tu vas vraiment te simplifier la vie en disant que $$
\frac{Y_1+\cdots+Y_n}{n} - \mu = \frac{1}{n}[(Y_1 - \mu) + \cdots + (Y_n - \mu)].$$ -
Bonsoir,
D'après la stationnarité du processus stochastique $AR(1)~$, on a : $\quad E(Y_{t})=E(Y_{t-1}),
$
D'après le modèle de l'énoncé qui est : $\quad
Y_{t}-\mu =\alpha \left( Y_{t-1}-\mu \right) +Z_{t}
,$
On a : \[
Y_{t}=\alpha Y_{t-1}+\left( 1-\alpha \right) \mu +Z_{t}
,\] Le moment d'ordre 1 du processus est alors : \[
E(Y_{t})=\alpha E(Y_{t-1})+\left( 1-\alpha \right) \mu +E(Z_{t})
,\] Soit : \[
\left( 1-\alpha \right) E(Y_{t})=\left( 1-\alpha \right) \mu
,\] Il vient $E(Y_{t})=\mu $ ce qui implique que $E(\overset{-}{Y})=\mu. $
À suivre.
Cordialement.
[Ne pas abuser des formules centrées. :-) AD] -
Posons pour simplifier $X_n=Y_n-\mu.$ Comme c'est un processus AR-1, cela suppose qu'il est stationnaire, ce qui signifie que tous les $X_n$ sont de meme loi. Le cours dit de plus que le processus est gaussien et que $\mathbb{E}(X_nX_m)$ ne depend que de $|n-m|.$ Cela se demontre ainsi
Soit $f(t)=\mathbb{E}(e^{itX_n}).$ Alors comme $X_{n-1} $ et $Z_n$ sont independants on a $f(t)=f(\alpha t)e^{-t^2/2}$ ce qui entraine que $f(t)=e^{-t^2/(1-\alpha^2)}$ En effet en iterant
$$f(t)=e^{-\frac{t^2}{2}(1+\alpha^2+\cdots+\alpha^{2n})}f(\alpha^{n+1}t)$$et on passe a la limite.
De meme pour calculer la covariance $$\mathbb{E}(X_nX_m)=\mathbb{E}((\alpha X_{n-1}+Z_n)X_m)=\alpha\mathbb{E}( X_{n-1}X_m)$$ qui mene par recurrence a la formule $\mathbb{E}(X_nX_m)=\alpha^{|n-m|}/(1-\alpha^2).$ D'ou la variance cherchee
$$\mathbb{E}\left(\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}\right)^2=\frac{1}{n^2(1-\alpha^2)}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\alpha^{|i-j|}.$$ -
Bonsoir,
@P.: je souhaiterais te faire remarquer que tes aides sont la plupart du temps bien correctes mais qu'elles prennent des tournures qui perdent, je pense, l'initiateur de la question. Comme me disait, un de mes professeurs avec humour : "ça ne sert à rien que je sois une lumière si c'est pour m'éclairer le nombril".:-)
Cordialement. -
Quelle tournure particuliere te derange, cher jma?
-
@jma je comprends les étape pour arriver à l'espérance de $Y_t$ égale à $\mu$ mais je ne comprends pas pourquoi cela implique que l'espérance de $\overline Y$ soit aussi $\mu$.
-
Bonjour,
Tu peux utiliser une des propriétés de l'espérance qui est $E\left( \alpha X+\beta Y\right) =\alpha E\left( X\right) +\beta E\left(Y\right) $ donc en développant l'estimateur sous l'espérance et, comme tu connais la valeur de chacun des termes, tu peux arriver à cette conclusion.
Cordialement. -
Bonjour,
Est-ce "OK" pour la première question ?
Cordialement. -
Oui j'ai compris pour la première question merci beaucoup.
Par contre je bloque toujours pour la deuxième et je ne comprends pas la méthode donnée en passant par la récurrence... (désolée j'ai conscience d'avoir quelques lacunes...) -
Bonjour
Peut-être, peux-tu poser des questions à P. sur ce que tu ne comprends pas ?
Soit $X_{t}=Y_{t}-\mu .$
On va expliciter le premier terme de droite du calcul de la variance. Pour $n$ variables aléatoires quelconques $\left( X_{1},\ldots,X_{n}\right) $, on sait que :
\begin{equation*}
V\Big( \underset{t=1}{\overset{n}{\sum }}X_{t}\Big) =\underset{t=1}{
\overset{n}{\sum }}V\left( X_{t}\right) +2\underset{t<j}{\sum }cov\left(
X_{t},X_{j}\right) ,
\end{equation*} où $~\underset{t<j}{\sum }$ est une sommation pour tous les couples $\left( X_{t},X_{j}\right) $ avec $t<j$.
Un autre conséquence de la stationnarité est que $V\left(X_{t}\right) =V\left( X_{t-1}\right) =\gamma $ et, ainsi que $\gamma =\alpha^{2}\gamma +1$ donc :
\begin{equation*}
\gamma =\frac{1}{1-\alpha ^{2}}.
\end{equation*} Alors : $V\big( \overset{{\large -}}{X}\big) =\frac{1}{n\left( 1-\alpha
^{2}\right) }+\underset{t<j}{2\sum }cov\left( X_{t},X_{j}\right) $
Cordialement. -
Pour la récurrence, sans perte de généralité on peut supposer $m\leq n$. Donc $$
\mathbb{E}(X_nX_m)=\alpha \mathbb{E}(X_{n-1}X_m)=\alpha^2\mathbb{E}(X_{n-2}X_m)=\cdots=\alpha^{n-m}\mathbb{E}(X_m^2)=\alpha^{n-m}/(1-\alpha^2).$$ -
Bonjour
@MarieBreizh. Je pensais à un autre moyen. Pour calculer la somme des autocovariances, on utilise $X_{t}-\alpha X_{t-1}=Z_{t}$. En la multipliant par $X_{t-k}$, il vient alors : $X_{t-k}X_{t}-\alpha X_{t-k}X_{t-1}=X_{t-k}Z_{t}$,
donc : $E\left( X_{t-k}X_{t}\right) -\alpha E\left( X_{t-k}X_{t-1}\right)
=E\left( X_{t-k}Z_{t}\right) $,
ou bien : $E\left( X_{t-k}X_{t}\right) -\alpha E\left( X_{t-k}X_{t-1}\right)
=0$.
En posant $\gamma _{k}=E\left( X_{t-k}X_{t}\right) ,$ on a : $$
\gamma _{k}-\alpha \gamma _{k-1}=0,
$$ avec $\gamma _{0}=\frac{1}{1-\alpha ^{2}}.$
En calculant les séries numériques engendrées, il est possible d'obtenir le résultat demandé.
Cordialement.
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Bonjour!
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