Fonction de répartition et de densité
dans Statistiques
Salut !!
J'ai un problème pour montrer cette propriété.
Soit $X$ une variable aléatoire de fonction de répartition $F$, on suppose que $F$ est continue sur $\R$, $F$ est dérivable sur $\R$ privé éventuellement d'un nombre fini de points $ \{a_{1}, \ldots,a_{n} \}$. Si $F'$ est continue sur chacun des ensembles $ ] {-} \infty ,a_{1}[ ,\, ]a_{1},a_{2}[ ,\,\ldots,\,]a_{n-1},a_{n}[,\, ]a_{n}, +\infty[ $, alors la variable aléatoire $X$ a pour densité :
$g(x)= F'(x)~\text{si}~x \in \R \setminus \{a_{1}, \dotsc, a_{n} \} $ et $g(x)=0$ sinon.
J'ai bien montré le premier volet. Mais je n'arrive pas à montrer le cas de $g(x)=0$
Besoin d'aide svp.
J'ai un problème pour montrer cette propriété.
Soit $X$ une variable aléatoire de fonction de répartition $F$, on suppose que $F$ est continue sur $\R$, $F$ est dérivable sur $\R$ privé éventuellement d'un nombre fini de points $ \{a_{1}, \ldots,a_{n} \}$. Si $F'$ est continue sur chacun des ensembles $ ] {-} \infty ,a_{1}[ ,\, ]a_{1},a_{2}[ ,\,\ldots,\,]a_{n-1},a_{n}[,\, ]a_{n}, +\infty[ $, alors la variable aléatoire $X$ a pour densité :
$g(x)= F'(x)~\text{si}~x \in \R \setminus \{a_{1}, \dotsc, a_{n} \} $ et $g(x)=0$ sinon.
J'ai bien montré le premier volet. Mais je n'arrive pas à montrer le cas de $g(x)=0$
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Réponses
La valeur de la densité en un des xi n'a aucune importance (changer la valeur d'une fonction en un point [merci Calli] dans une intégrale ne change rien à l'intégrale).
Cordialement.
Comprendre "changer la valeur d'une fonction en un nombre fini de points dans une intégrale ne change rien à l'intégrale" (je sais que @gerard0 n'aime pas qu'on parle à sa place, donc je risque de me faire engueuler, mais ça me paraît plus juste dit comme ça).
Et je ne comprends pas aussi : pourquoi on choisit une valeur quelconque à $g$ en les points $a_{i}$ ?
Pouvez-vous m'éclairer svp ?
Les bornes de l'intervalle sont des points de l'intervalle. Il te faudrait connaître la théorie de l'intégration pour totalement comprendre, mais ce qui compte c'est ce qui se passe "sur des intervalles".
Pourquoi une valeur quelconque ? Parce qu'on veut que g soit bien définie sur $\mathbb R$ entier.
Cordialement.