Jeu de dé à deux tours, répété plusieurs fois

Bonjour
Dans le cadre d’un cours d’introduction à la statistique, j’ai l’exercice suivant.

J’ai un jeu de dés, avec une mise initiale de 10. Si je fais un 6 et je gagne 50, sinon je rejoue. Là, si je fais un 6, je gagne ma mise initiale, sinon je perds. Ce qui est représenté avec l’arbre de probabilité ci-dessous.

Les premières questions sont le calcul de la moyenne (-0,2778), l’écart-type (18,3312), la moyenne pour 5 jeux (-0,2778) et l’écart-type pour 5 jeux (8,1980)

La dernière question est de trouver la probabilité pour l’organisateur de faire un gain avec 100 jeux.
Ce que j’ai fait, c’est de résumer l’arbre avec l’arbre ci-dessous :

Et finalement, en considérant que 0 n’est pas un gain, cela revient à :

Si je considère :
\begin{align*}
x & = \text{nombre de jeux perdants}\\
y & = \text{nombre de jeux gagnants}

\end{align*} Il suffit de résoudre le système suivant.
\begin{align*}
-\frac{240}{11}x+ 10y &\ge 0\\
x+y&=100

\end{align*} Je trouve \( y \ge 68 + \dfrac{4}{7} \).
Après, il suffit de calculer : \[\sum_{k=69}^{100} P(X=k) \qquad X \sim B(100,25/36)

\] Et avec R, j’ai

P(X > 68)  = dbinom(68, 100, 25/36, lower.tail = FALSE)
           = 0,586433

Afin de vérifier mes calculs, j’ai fait une simulation sur un tableur pour deux jeux, et je ne retombe pas sur mes pieds.
Les probabilités de faire un gain avec 2, 3 et 4 jeux sont respectivement : 0.6752, 0.5760, et 0,4819.

Je pense que je ne peux simplifier les arbres comme j’ai fait. Peut-être qu’il faut que j’enchaîne deux binomiales, mais il faut aussi que je trouve le nombre de succès et d’échecs pour chacune des deux binomiales. À moins d’utiliser l’écart-type pour 100 jeux et de créer un intervalle de confiance !
Une idée de piste ?