Variance asymptotique - delta méthode
dans Statistiques
Bonjour,
Je cherche à déterminer les variances asymptotes des deux estimateurs suivants. $$
\hat{\sigma}_1 ^2 = \frac{1}{n} \sum_1 ^n X_i ^2 \qquad\text{ et }\qquad \hat{\sigma}_2 ^2 = \frac{1}{n} \sum_1 ^n (X_i - \bar{X} ) ^2.
$$ Sachant que les variables aléatoires sont iid selon la loi normale ($ \mu = 0,\ \sigma ^2 > 0$).
Il est préconisé d'utiliser la delta-méthode.
Est-ce que $\hat{\sigma}_1 ^2 = (2/n)^2 \sigma^2$ et $\hat{\sigma}_2 ^2 = \sigma ^2$ ?
Je cherche à déterminer les variances asymptotes des deux estimateurs suivants. $$
\hat{\sigma}_1 ^2 = \frac{1}{n} \sum_1 ^n X_i ^2 \qquad\text{ et }\qquad \hat{\sigma}_2 ^2 = \frac{1}{n} \sum_1 ^n (X_i - \bar{X} ) ^2.
$$ Sachant que les variables aléatoires sont iid selon la loi normale ($ \mu = 0,\ \sigma ^2 > 0$).
Il est préconisé d'utiliser la delta-méthode.
Est-ce que $\hat{\sigma}_1 ^2 = (2/n)^2 \sigma^2$ et $\hat{\sigma}_2 ^2 = \sigma ^2$ ?
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Réponses
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$$\mathbb{E}\left((X_1^2+\cdots+X_n^2)^2\right)=\mathbb{E}(X_1^4)+\cdots+\mathbb{E}(X_n^4)+2\sum_{1\leq i<j\leq n}\mathbb{E}(X_i^2)\mathbb{E}(X_j^2)=3n\sigma^4+2\frac{n(n-1)}{2}\sigma^4=(n^2+2n)\sigma^4.$$