Estimateur bayesien de variance

Bonjour,
je cherche à estimer le paramètre $\theta$ à partir de $n$ variables aléatoires : $X_i \thicksim \mathcal{N} (0, \theta)$ et en utilisant la répartition a priori de Jeffreys.
Sauf erreur de ma part :
$ \pi (\theta) \varpropto \dfrac{1}{\theta}$, car l'information de Fisher est $2 \theta$
$L(X_i \mid \theta) \varpropto \theta ^{-\tfrac{n}{2}} \exp\Big(-\dfrac{\sum x_i^2}{2 \theta}\Big)$, on trouverait donc :
$L(\theta \mid X_i) \varpropto \theta ^{-\tfrac{n}{2} - 1} \exp\Big(-\dfrac{\sum x_i^2}{2 \theta}\Big)$
Par identification avec le distribution gamma et en posant $ x = \dfrac{1}{y}$
$L\Big( \dfrac{1}{y} \mid X_i\Big) \varpropto y^{\tfrac{n}{2} + 1} \exp\Big(-\dfrac{\sum x_i^2}{2}y\Big) \varpropto \Gamma \Big( \dfrac{n+4}{2}, \dfrac{\sum x_i^2}{2}\Big) $


On obtient une espérance pour $y$ : $ \dfrac{n+4}{\sum x_i^2}$ et donc une espérance pour $\theta$ : $ \dfrac{\sum x_i^2}{n+4}$

Mon raisonnement est-il correct ? Est-ce donc un estimateur correct ?

(Le symbole $\varpropto$ est utilisé pour signifier proportionnel, afin de supprimer les coefficients.)