Estimation nombre relatif

Effectivement, c'est clair,

et je suis d'accord avec Zbf que "non tu ne peux pas".180 (*) est une estimation du nombre de personnes qui "savent maintenant identifier leurs besoins", mais pas le nombre exact (sauf "coup de chance").
Par contre dans cette situation, tu sais avec certitude que ce nombre exact est entre 159 (les 60 qui n'ont pas été interrogés ne savent pas) et 219 (les 60 savent tous).

Cordialement.

NB : Je m'interroge toujours sur cet "échantillon représentatif" de grande taille.

(*) en fait, 190,8 puisque 159/300*360 = 190,8.

C'est à peu près ça en effet pour une loi de Bernoulli (ce qui est ton cas) avec suffisamment de personnes interrogées.

Tu as les formules ici pour avoir le détail https://fr.wikipedia.org/wiki/Intervalle_de_confiance#Sondage_d'opinion.

Bonjour,
c'est peut-être un peu tard, mais je vais quand même répondre avec ce que j'ai compris de la situation.
Nous avons une population totale de 360 personnes, dont $x$ sont "positifs" (on enquête sur $x$).
Dans un échantillon de taille 300, il est observé 159 "positifs".
Questions : déterminer un intervalle de confiance pour $x$.

D'abord, il est simple de calculer en fonction de $x$ la probabilité d'avoir $f$ individus "positifs" dans un échantillon de taille 300 :
$\displaystyle P(x, f) = {\frac {{x\choose f}{360-x\choose 300-f}}{{360\choose 300}}} $

Pour connaitre le maximum de vraisemblance dans la situation de 159 "positifs" dans l'échantillon, il suffit de calculer $P(x, 159)$ pour tout $x$ :

On voit que 191 est bien le maximum, et que la valeur de $x$ est "raisonnablement" comprise entre 181 et 201.

Comme on connait parfaitement $P(x,f)$, on peut calculer des intervalles de fluctuation pour un seuil $s$ fixé, pour une valeur de $x$ fixée.
A défaut de davantage d'informations sur la situation concrète, on peut choisir des intervalles de fluctuation de longueur minimale.
Par exemple, pour la variable $f$,
l'intervalle de fluctuation à 95% avec $x=183$ est $[146 ; 159]$ ; et avec $x=199$, l'intervalle est $[159, 172]$ ;
l'intervalle de fluctuation à 80% avec $x=185$ est $[150 ; 159]$ ; et avec $x=196$, l'intervalle est $[159, 168]$ ;

De là, compte tenu du fait qu'on a un échantillon contenant 159 "positifs", on en déduit pour $x$ :
l' intervalle de confiance [183, 199] à 95% ;
l' intervalle de confiance [185, 196] à 80% .

Graphiquement, en fonction du niveau de confiance, on a l'abaque suivant précisant un intervalle de confiance pour $x$ :

en abscisse, le niveau de confiance ;
en rouge, la borne inférieure de l'intervalle de confiance,
en vert, la borne supérieure de l'intervalle de confiance.

Si on oublie que choisir 300 personnes différentes parmi 360, n'est pas du tout pareil que choisir (avec remise) 300 fois une personne parmi 360 (loi binomiale, approchée par loi normale) , alors on obtient des intervalles de confiance faux ...et bien plus grands. Double peine

Bonjour

J'ai fait tous ces calculs avec le logiciel maple (un logiciel de calculs mathématiques comme un autre), mais en découpant astucieusement le calcul des coefficients binomiaux avec des multiplications et des divisions, tout logiciel programmable doit y arriver.

Comme j'ai essayé d'expliquer, ce n'est pas une formule que j'ai appliquée : je suis revenu à la définition des intervalles de confiances.

Il est bon d' établir d'abord des intervalles de fluctuation (dont je n'ai pas de formule non plus) en supposant $x$ connu fixé, et $f$ variable.

Tous les calculs se font par ordinateur.

Votre question judicieuse !

En fait, pour chaque $x$, l'ordi a calculé un intervalle de fluctuation à $95\%$. Notons cet Intervalle de fluctuation par $IF(x)$.
Parmi tous les intervalles $IF(x)$, certains d'entre eux contiennent le nombre $159$, d'autres non.
L'intervalle de confiance $IC(159)$ est alors l'ensemble des $x$ tels que $159 \in IF(x)$.
... et l'ensemble de ces $x$ est l'intervalle $IC(159) = [183 ; 199]$.

En effet,
pour $x=182$, on a $IF(182) = [145 ; 158]$, et la valeur $159$ est trop grande pour y appartenir ;
pour $x=183$, on a $IF(183) = [146 ; 159]$ et la valeur $159$ entre tout juste dedans (si je peux dire) ;
plus la valeur de $x$ augmente, plus l'intervalle $IF(x)$ se décale logiquement vers des valeurs plus grandes... ;
pour $x=199$, on a $IF(199) = [159 ;172]$ et la valeur $159$ est encore tout juste (si je peux dire) ;
pour $x=200$, on a $IF(200) = [160 ; 173]$ et la valeur $159$ est trop petite pour y appartenir.
Ainsi $IC(159)$ l'intervalle qui commence à $183$ et termine à $199$.