Espérance empirique

mcd
mcd
dans Statistiques
Bonjour,

Je suis tombé sur cette formule, je me dis que je la connais. Mais je ne vois plus comment la montrer. Du coup vous voyez comment faire ?
$$
\frac{1}{|A|} \sum_{a_{0} \in A, \ a \in A}\left\|a-a_{0}\right\|^{2} =2 \sum_{a \in A}\Big\|a-\frac{1}{|A|} \sum_{a \in A} a\Big\|^{2} ,

$$ avec $A \subseteq \mathbb{R}^{d}$ un ensemble fini.

Réponses

  • mcd
    mcd
    J'ai reçu l'indication suivante :$\left(\text {recall that } \mathbb{E}\left[\|x-y\|^{2}\right]=2 \mathbb{E}\left[\|x-\mathbb{E}(x)\|^{2}\right]\right)$
  • P.
    P.
    Si $m=\mathbb{E}(X)$ et si $X$ et $Y$ sont independantes et de meme loi (avec existence des moments du second ordre) alors $$\mathbb{E}(\langle X-m,Y-m\rangle)=\langle \mathbb{E}(X-m),\mathbb{E}(Y-m)\rangle=\langle 0,0\rangle=0$$ et donc
    $$\mathbb{E}(\|X-Y\|^2)=\mathbb{E}(\|X-m-(Y-m)\|^2)=\mathbb{E}(\|X-m\|^2+\mathbb(\|Y-m\|^2)
    -2\mathbb{E}(\langle X-m,Y-m\rangle)=2\mathbb{E}(\|X-m\|^2.$$
  • mcd
    mcd
    Merci P. voyez vous comment l'appliquer à la question ?
  • mcd
    mcd
    J'essaye de reconstruire le truc mais c'est bizarre je dirais
    $$
    \frac{1}{|A|} \sum_{a \in A} = \mathbb{E}(x) .

    $$ Du coup je pense qu'on calcule espérance de $x$ contre la mesure $\sum_{a \in A} { \delta_{a} \over |A| }$
    On en déduit alors que
    $$
    2 \mathbb{E} \left[ \|x-\mathbb{E}(x) \|^{2} \right] = {2 \over |A | } \sum_{a \in A} \Big\|a - \frac{1}{|A|} \sum_{a \in A} a \Big\|^{2}.

    $$ Maintenant faisons pareil de l'autre côté ah... je crois que je viens de comprendre l'autre côté l'espérance c'est pour le couple $(x,y)$ n'est-ce pas ? D'où la double somme et la simplification :)o

    Autre question. Est-ce que cette formule là possède un nom une interprétation ? (la formule que P. a démontrée)
  • P.
    P.
    Oui, elle s'appelle la formule de mini_calli, celui qui l'a mise au jour, ou 'inventee'.
  • mcd
    mcd
    Merci encore :)o
  • P.
    P.
    Cette formulation de l'esperance empirique est appreciee des praticiens lorsque l'origine des mesures a un caractere artificiel, par exemple dans les bagarres Celsius Farenheit. En ce sens c'est une notion affine et non vectorielle.
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