Binôme de Newton et somme de contrôle

Bonjour,
Je m'initie doucement au problème de code de détection et de correction d'erreur. J'essaie de calculer dans un cas très simple la probabilité d'avoir une erreur malgré même si la somme est correcte. Dans un premier temps il s'agit de $n$ bits dont un seul bit de contrôle (contrôle par parité) sachant que chaque bit a une probabilité $p$ d'avoir fait une transition.
Dans ce cas là, j'estime à vue de nez que la probabilité d'avoir une erreur malgré une somme correcte est de $\frac{A}{(1-p)^n+A},$ où $A=\displaystyle \sum_{k=1}^{E(n/2)} \binom{n}{2 k} (1-p)^{2k} p^{n-2k}$ (où $E$ désigne la partie entière). Je peux programmer pour faire le calcul, mais je suis suppose qu'il y a une expression simplifiée de cette somme (sans savoir ce que ça peut être, parce que pour moi, la pratique des trucs à base de coefficient binomiaux, ça s'est arrêté en terminale). Si quelqu'un a une idée, je suis très intéressé.
Merci d'avance.