Estimation ponctuelle

moiiii
moiiii
dans Statistiques
Bonjour, j'ai un exercice à faire sauf que je suis bloqué car il y a certaines choses que je n'arrive pas à comprendre.

L'énoncé est le suivant:
"La loi de X est la suivante:
P(X = 1) = P(X = -1) = pX et P(X = 0) = 1 - 2pX avec pX un réel inconnu qui appartient à ]0;1[ .On a un échantillon aléatoire qui nous permettra d'estimer pX.

1) Montrer que la moyenne empirique n'est pas un bon estimateur de pX.
2)Est-il possible de trouver un estimateur sans biais de pX de la forme a+bXn? (Xn=moyenne empirique).
3)Calculer V(X) et à partir du résultat, proposer un estimateur sans biais de pX.
4)Calculer la variance de cet estimateur. Est-il convergent?"


J'ai compris qu'il s'agit d'estimer une proportion sauf que j'avais vu en cours que dans le cas d'une estimation d'une proportion, les v.a Xi sont de Bernoulli mais ici ça n'a pas l'air d'être le cas.
Puis pour la première question je me disais que l'estimation par la moyenne empirique n'était pas envisageable car elle est égale à (X1+X2+...+Xn)/n sauf qu'ici nous ne disposons d'aucunes informations sur la taille de l'échantillon n.

Mais du coup on aura le même problème(pour n) avec la fréquence empirique qui est censée être utilisée pour estimer la proportion ?

Pour la deuxième question ça ne sera pas possible étant donné qu'il y a la moyenne empirique.

Réponses

  • Chalk
    Chalk
    1) Quelle est l'espérance de $X$ ?

    Du coup, quelle est l'espérance de $(X_1 +...+X_n)/n$ si les $(X_i)$ sont une suite i.i.d. de loi $X$ ?

    Qu'en déduis-tu quant à la pertinence de la moyenne empirique comme estimateur de $p_X$ ? Si ça peut t'aider, sache que la qualité première d'un estimateur dans le cas général (faisons simple) c'est d'être sans biais (ou au moins asymptotiquement sans biais).
  • moiiii
    moiiii
    Théoriquement, l'espérance de la moyenne empirique (E(Xn)) est égale à l'espérance de X (E(X)), avec ici E(X)=pX.
    Pour que la moyenne empirique soit un estimateur sans biais de pX il faudrait que E(Xn)-pX=0.
    Mais du coup comment prouver que ce n'est pas le cas?
  • Chalk
    Chalk
    moiiii a écrit:
    Mais du coup comment prouver que ce n'est pas le cas?
    Bah on y va, on calcule l'espérance de $X$, ça ne me paraît pas insurmontable de calculer l'espérance d'une variable aléatoire qui peut prendre 3 valeurs ...
    moiiii a écrit:
    E(X)=pX
    On peut voir le détail du calcul qui t'amène à prouver que $\mathbb E[X] = p_X$ ?
  • moiiii
    moiiii
    D'accord, donc en fait ici E(X)=E(Xn)=0, c'est bien ça ?
  • Chalk
    Chalk
    Oui, mais tu n'aurais même pas besoin de poser la question si tu l'avais démontré (une ligne de calcul).

    2) Tu fais pareil avec l'estimateur $a + b(X_1+\cdots+X_n)/n$, tu calcules son espérance. Est-il sans biais ?
  • moiiii
    moiiii
    E(a+bXn)=E(a)+E(bXn)=E(a)+bE(Xn)=E(a)=a, a est différent de pX donc (a+bXn) n'est pas un estimateur sans biais de pX.
  • Chalk
    Chalk
    moiiii a écrit:
    a est différent de pX
    Pas forcément. En revanche, tu peux effectivement affirmer que si $a$ est différent de $p_X$ alors l'estimateur n'est pas sans biais, et donc on ne peut pas trouver un coefficient $a$ (et un coefficient $b$) qui marcheraient pour n'importe quel paramètre $p_X$.

    Maintenant il te reste à calculer la variance de $X$, et à en déduirre un estimateur de $p_X$ à partir d'un échantillon i.i.d. $X_1,...,X_n$.
  • moiiii
    moiiii
    Pour la variance de X, la formule à utiliser ici est bien la suivante: (1-2pX)/pX² ?
  • gerard0
    gerard0
    Euh ... "(1-2pX)/pX²" n'est pas une formule. Pas une formule mathématique (qui veut dire une égalité), serait-ce une formule magique ?

    Tu as une définition classique de la variance pour les variables aléatoires discrètes, très simple dans ce cas. Applique-la. Le résultat est éclairant.

    Cordialement.
  • P.
    P.
    Petite intervention a propos de la discussion ci dessus de la seconde question concernant un estimateur $a+b\overline{X}_n$. Il faut rappeler qu'un estimateur, bon ou mauvais, est une fonction qui depend des donnees et, au grand jamais, du parametre. Quand on entend proposer $a=p_{X}$ il y a de quoi bondir.


    Pour la suite tu calcules $\mathbb{E}(X^2_i)$ qui depend gentiment de $p_X$ ce qui te permet de fabriquer un estimateur non biaise de $p_X,$ soit $Y_n=f_n(X_1,\ldots,X_n),$ et qui n'est pas bien complique.
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