Estimation ponctuelle
dans Statistiques
Bonjour, j'ai un exercice à faire sauf que je suis bloqué car il y a certaines choses que je n'arrive pas à comprendre.
L'énoncé est le suivant:
"La loi de X est la suivante:
P(X = 1) = P(X = -1) = pX et P(X = 0) = 1 - 2pX avec pX un réel inconnu qui appartient à ]0;1[ .On a un échantillon aléatoire qui nous permettra d'estimer pX.
1) Montrer que la moyenne empirique n'est pas un bon estimateur de pX.
2)Est-il possible de trouver un estimateur sans biais de pX de la forme a+bXn? (Xn=moyenne empirique).
3)Calculer V(X) et à partir du résultat, proposer un estimateur sans biais de pX.
4)Calculer la variance de cet estimateur. Est-il convergent?"
J'ai compris qu'il s'agit d'estimer une proportion sauf que j'avais vu en cours que dans le cas d'une estimation d'une proportion, les v.a Xi sont de Bernoulli mais ici ça n'a pas l'air d'être le cas.
Puis pour la première question je me disais que l'estimation par la moyenne empirique n'était pas envisageable car elle est égale à (X1+X2+...+Xn)/n sauf qu'ici nous ne disposons d'aucunes informations sur la taille de l'échantillon n.
Mais du coup on aura le même problème(pour n) avec la fréquence empirique qui est censée être utilisée pour estimer la proportion ?
Pour la deuxième question ça ne sera pas possible étant donné qu'il y a la moyenne empirique.
L'énoncé est le suivant:
"La loi de X est la suivante:
P(X = 1) = P(X = -1) = pX et P(X = 0) = 1 - 2pX avec pX un réel inconnu qui appartient à ]0;1[ .On a un échantillon aléatoire qui nous permettra d'estimer pX.
1) Montrer que la moyenne empirique n'est pas un bon estimateur de pX.
2)Est-il possible de trouver un estimateur sans biais de pX de la forme a+bXn? (Xn=moyenne empirique).
3)Calculer V(X) et à partir du résultat, proposer un estimateur sans biais de pX.
4)Calculer la variance de cet estimateur. Est-il convergent?"
J'ai compris qu'il s'agit d'estimer une proportion sauf que j'avais vu en cours que dans le cas d'une estimation d'une proportion, les v.a Xi sont de Bernoulli mais ici ça n'a pas l'air d'être le cas.
Puis pour la première question je me disais que l'estimation par la moyenne empirique n'était pas envisageable car elle est égale à (X1+X2+...+Xn)/n sauf qu'ici nous ne disposons d'aucunes informations sur la taille de l'échantillon n.
Mais du coup on aura le même problème(pour n) avec la fréquence empirique qui est censée être utilisée pour estimer la proportion ?
Pour la deuxième question ça ne sera pas possible étant donné qu'il y a la moyenne empirique.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Du coup, quelle est l'espérance de $(X_1 +...+X_n)/n$ si les $(X_i)$ sont une suite i.i.d. de loi $X$ ?
Qu'en déduis-tu quant à la pertinence de la moyenne empirique comme estimateur de $p_X$ ? Si ça peut t'aider, sache que la qualité première d'un estimateur dans le cas général (faisons simple) c'est d'être sans biais (ou au moins asymptotiquement sans biais).
Pour que la moyenne empirique soit un estimateur sans biais de pX il faudrait que E(Xn)-pX=0.
Mais du coup comment prouver que ce n'est pas le cas?
On peut voir le détail du calcul qui t'amène à prouver que $\mathbb E[X] = p_X$ ?
2) Tu fais pareil avec l'estimateur $a + b(X_1+\cdots+X_n)/n$, tu calcules son espérance. Est-il sans biais ?
Maintenant il te reste à calculer la variance de $X$, et à en déduirre un estimateur de $p_X$ à partir d'un échantillon i.i.d. $X_1,...,X_n$.
Tu as une définition classique de la variance pour les variables aléatoires discrètes, très simple dans ce cas. Applique-la. Le résultat est éclairant.
Cordialement.
Pour la suite tu calcules $\mathbb{E}(X^2_i)$ qui depend gentiment de $p_X$ ce qui te permet de fabriquer un estimateur non biaise de $p_X,$ soit $Y_n=f_n(X_1,\ldots,X_n),$ et qui n'est pas bien complique.