Autre façon de calculer la variance

Si on a un echantillon $X_1,\ldots,X_n$ sa moyenne et sa variance empiriques sont $$\overline {X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i,\ V(X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline {X})^2.$$ Et tu demandes pourquoi $V(X)=\frac{1}{2n^2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(X_i-X_j)^2$ et les avantages de cette formule. En fait economistes et sociologues trouvent qu'une difference a plus de sens qu'une valeur, tres dependante d'une origine aussi artificielle que les zeros Celsius ou Farenheit. Pour montrer la formule on remarque avant que pour $j$ fixe $$\sum_{i=1}^n(X_i-\overline {X})
(X_j-\overline {X})=(X_j-\overline {X})\sum_{i=1}^n(X_i-\overline {X})=(X_j-\overline {X})\times 0=0.\ \ \ (*)$$ Ensuite, astuce, on ajoute et on retranche $\overline {X}$ ainsi, on utilise $( a+b)^2=a^2+b^2+2ab$, on utilise (*), la symetrie et enfin la definition de $V(X):$

$$\frac{1}{2n^2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(X_i-\overline {X}+\overline {X}-X_j)^2=\frac{1}{2n^2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[(X_i-\overline {X})^2+(\overline {X}-X_j)^2]=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(X_i-\overline {X})^2=V(X)$$